Identités remarquables : exercices corrigés de 2de

Pour $A$, on a $a=x$ et $b=4$. La formule du carré d'une somme donne $x^2 + 2\times x\times 4 + 4^2$.

On calcule : $A = x^2 + 8x + 16$.

Pour $B$, on a $a=x$ et $b=6$. Le carré d'une différence donne $x^2 - 2\times x\times 6 + 6^2$, soit $B = x^2 - 12x + 36$.

Pour $C$, on reconnaît $(a+b)(a-b)$ avec $a=x$ et $b=3$. Le résultat est $a^2-b^2$, donc $C = x^2 - 9$.

Contrôle avec $x=1$ : $A=25$ et $1+8+16=25$ ; $B=25$ et $1-12+36=25$ ; $C=-8$ et $1-9=-8$.

On écrit $99\times 101 = (100-1)(100+1)$.

C'est un produit somme-différence avec $a=100$ et $b=1$, égal à $a^2-b^2$.

On calcule $100^2 - 1^2 = 10\,000 - 1$.

Le résultat est $9\,999$.

Ligne 1 : l'élève a oublié le double produit et s'est trompé de signe sur $b^2$, qui reste positif. Avec $a=x$ et $b=5$, on obtient $x^2 - 2\times x\times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

Ligne 2 : même oubli. Avec $a=2x$ et $b=1$, le double produit vaut $2\times 2x\times 1 = 4x$, donc $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

Ligne 3 : c'est un produit somme-différence, donc $a^2 - b^2$. Le signe est moins : $(x+2)(x-2) = x^2 - 4$.

Test avec $x=1$ pour la ligne 1 : $(1-5)^2 = 16$, alors que $1-25=-24$. L'égalité de l'élève est bien fausse, alors que $1-10+25=16$ confirme la correction.

Pour $D$, $a=2x$ et $b=3$. On obtient $(2x)^2 + 2\times 2x\times 3 + 3^2$.

On calcule : $D = 4x^2 + 12x + 9$.

Pour $E$, $a=5x$ et $b=1$. On obtient $(5x)^2 - 2\times 5x\times 1 + 1^2$, soit $E = 25x^2 - 10x + 1$.

Pour $F$, $a=4x$ et $b=7$ : $F = (4x)^2 - 7^2 = 16x^2 - 49$.

Contrôle avec $x=1$ : $D=25$ et $4+12+9=25$ ; $E=16$ et $25-10+1=16$ ; $F=-33$ et $16-49=-33$.

Pour $G$, $x^2=x^2$ et $49=7^2$. Le double produit vaut $2\times x\times 7=14x$, ce qui correspond au terme du milieu. Donc $G = (x+7)^2$.

Pour $H$, $9x^2=(3x)^2$ et $4=2^2$. Le double produit vaut $2\times 3x\times 2 = 12x$, avec un signe moins dans l'expression : $H = (3x-2)^2$.

Pour $I$, on écrit $25=5^2$ et $4x^2=(2x)^2$. C'est une différence de deux carrés : $I = (5-2x)(5+2x)$.

Pour $J$, on écrit $16=4^2$ avec $a=x+1$ et $b=4$ : $J = (x+1-4)(x+1+4)$.

On réduit chaque parenthèse : $J = (x-3)(x+5)$.

On reconnaît une différence de deux carrés avec $a=1003$ et $b=997$.

On factorise : $1003^2 - 997^2 = (1003-997)(1003+997)$.

On calcule les deux parenthèses : $1003-997=6$ et $1003+997=2000$.

Le produit vaut $6\times 2000 = 12\,000$.

On pose $a = 2x+1$ et $b = x-3$. Alors $K(x) = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

On calcule $a-b = (2x+1)-(x-3) = 2x+1-x+3 = x+4$.

On calcule $a+b = (2x+1)+(x-3) = 3x-2$.

Donc $K(x) = (x+4)(3x-2)$.

Contrôle : en développant, $(x+4)(3x-2) = 3x^2 - 2x + 12x - 8 = 3x^2 + 10x - 8$. En développant l'expression de départ : $4x^2+4x+1-(x^2-6x+9) = 3x^2+10x-8$. Les deux formes coïncident.

Pour $x=2$ : $K(2) = (2+4)(3\times 2-2) = 6\times 4 = 24$.

Le premier terme est un carré de somme : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.

Le second terme est un produit somme-différence : $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$.

On soustrait en gardant les parenthèses : $L(x) = x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 9)$.

On change les signes dans la parenthèse : $L(x) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 9$.

On réduit : $L(x) = 6x + 18$.

Pour $x=5$ : $L(5) = 6\times 5 + 18 = 48$. Vérification avec l'énoncé : $8^2 - 8\times 2 = 64 - 16 = 48$.

Les côtés du rectangle mesurent $x+3$ cm et $x-3$ cm. Son aire est $(x+3)(x-3)$.

C'est un produit somme-différence avec $a=x$ et $b=3$, donc l'aire vaut $x^2 - 9$ cm².

On résout $x^2 - 9 = 91$, ce qui donne $x^2 = 100$.

Comme $x$ est une longueur positive, $x = 10$ cm.

Vérification : les côtés du rectangle sont $13$ cm et $7$ cm, et $13\times 7 = 91$ cm². Le résultat est cohérent.