Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Trois égalités à connaître : (a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2=a2−2ab+b2 et a2−b2=(a−b)(a+b).
Le double produit 2ab ne disparaît jamais dans un carré : (a+b)2 n'est pas a2+b2.
Pour factoriser, repère un carré moins un carré, ou trois termes dont deux sont des carrés et un le double produit.
Choisis la forme (développée ou factorisée) la plus pratique selon le problème à résoudre.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur les identités remarquables en Seconde : les reconnaître, les utiliser pour développer, pour factoriser, et pour calculer de tête. Tu y croiseras des erreurs très courantes, celles qui coûtent des points en contrôle. Prends un brouillon, résous chaque question avant de regarder les propositions, puis lis l'explication même quand tu as juste : elle précise souvent le piège que les autres élèves évitent moins bien.
Le programme demande aussi de repérer, selon le problème, la forme la plus adéquate d'une expression, développée ou factorisée 3. Une forme développée aide à comparer ou à réduire ; une forme factorisée aide à voir quand une expression s'annule ou à simplifier. Les identités sont le moyen de passer de l'une à l'autre.
Quiz
12 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Avec a=x et b=3, on obtient a2+2ab+b2=x2+6x+9. La réponse x2+9 oublie le double produit 2×x×3=6x ; x2+3x+9 oublie le facteur 2 ; x2+6x+6 écrit 3+3 au lieu de 32=9.
Ici a=2x et b=5 : a2=4x2, 2ab=20x, b2=25, donc 4x2−20x+25. Le résultat 4x2−10x+25 calcule 2×x×5 en oubliant le 2 de 2x ; 4x2−25 confond avec une différence de deux carrés ; 2x2 oublie de mettre le 2 au carré.
C'est la forme (a−b)(a+b)=a2−b2 avec a=x et b=4, soit x2−16. Les termes en x se compensent (−4x+4x=0). La réponse x2−8x+16 est le développement de (x−4)2, une autre identité.
On reconnaît x2−72, donc (x−7)(x+7). Développer (x−7)2 donnerait x2−14x+49, avec un terme en x qui n'existe pas dans x2−49. (x−49)(x+1) donne x2−48x−49.
9x2=(3x)2, 4=22 et 12x=2×3x×2 : c'est (3x+2)2. Le signe − de (3x−2)2 donnerait −12x. (9x+4)2 ferait apparaître 81x2.
Elle est fausse en général : (a+b)2=a2+2ab+b2, il manque le double produit. Un seul contre-exemple suffit : a=1, b=2 donne 9 d'un côté et 5 de l'autre. Elle n'est vraie que si ab=0.
(x−1)(x+1)=x2−1 directement. Pour la troisième : (x+1)2−2x−2=x2+2x+1−2x−2=x2−1. En revanche (x−1)2=x2−2x+1 garde un terme en x, et x2+1 n'a pas le bon signe : pour x=0 elle vaut 1 au lieu de −1.
(100+1)2=1002+2×100×1+12=10000+200+1=10201. L'erreur tentante est 10000+1=10001, qui oublie 2ab=200.
C'est a2−b2 avec a=100 et b=1 : 10000−1=9999. Une erreur fréquente est d'écrire 10000+1 ou 10000−2 : le carré de b vaut 1, et il se soustrait.
Avec a=5 et b=x+1 : (5−(x+1))(5+(x+1))=(4−x)(6+x). Dans la deuxième parenthèse, le signe de x reste + ; (4−x)(6−x) est donc faux. La réponse (x−4)(x+6) change le signe d'un seul facteur : elle vaut l'opposé de la bonne expression.
De (a+b)2=a2+2ab+b2 on tire a2+b2=(a+b)2−2ab=49−20=29. Répondre 49 revient à oublier le double produit ; on peut vérifier avec a=2 et b=5 : 4+25=29.
(x−3)2=x2−6x+9 et (x+3)2=x2+6x+9. La différence est −12x : les x2 et les 9 s'annulent. La réponse 0 suppose à tort que les deux carrés sont égaux, et −12x+18 oublie que le +9 est soustrait aussi.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser une identité remarquable pour factoriser ?
Cherche d'abord un carré moins un carré : alors a2−b2=(a−b)(a+b). Sinon, regarde si l'expression a trois termes, dont deux sont des carrés (a2 et b2) et le troisième vaut 2ab ou −2ab. Si oui, c'est (a+b)2 ou (a−b)2 selon le signe. Si rien de tout cela ne marche, cherche un facteur commun.
Faut-il apprendre les identités par cœur ?
Oui, elles reviennent sans cesse en calcul littéral et dans les équations. Pour retenir les signes, souviens-toi que le double produit prend le signe de la parenthèse, et que le terme b2 est toujours précédé d'un signe + dans un carré. En cas de doute, développe (a+b)(a+b) à la main : tu retrouves la formule en quelques lignes.