Modéliser un problème par une équation : cours de 2de

Dans la vie courante, les questions ne se présentent pas sous la forme « résous $3x+12=45$ ». On te dit plutôt : « une salle de sport demande 12 € d'inscription puis 3 € par séance ; avec 45 €, combien de séances peut-on faire ? ». Entre la phrase et le calcul, il y a une étape de traduction. C'est elle qu'on appelle la modélisation.

Le programme de seconde attend que tu saches transformer un problème en équation ou en inéquation, le résoudre, puis interpréter le résultat, y compris quand le problème se ramène à une égalité du type $f(x)=k$ avec une fonction $f$ connue.¹ Les techniques de résolution (équations du premier degré, produit nul, inéquations, systèmes) sont déjà dans ta boîte à outils. Ce cours s'occupe de ce qui vient avant et après : écrire l'équation juste et lire la solution correctement.

Pourquoi cette étape pose-t-elle problème à beaucoup d'élèves ? Parce que la résolution est mécanique, alors que la traduction demande de comprendre la situation. Une équation résolue sans erreur de calcul peut très bien répondre à une autre question que celle de l'énoncé. L'essentiel du travail consiste donc à bien choisir ce que représente la lettre, puis à écrire une égalité qui dit exactement la même chose que le texte.

Avant d'entrer dans la méthode, fixons quelques mots que l'on retrouve dans tous les énoncés.

La plupart des problèmes de seconde se traitent avec la même démarche : le programme demande justement de savoir mettre un problème en équation.¹ Tu peux la suivre à chaque fois, même si l'énoncé te paraît compliqué : elle te force à ne rien oublier.

La difficulté principale se situe à l'étape 3 : passer d'un morceau de phrase à une expression algébrique. Voici un petit dictionnaire à garder en tête. On suppose que $x$ est un nombre quelconque.

Voyons la méthode appliquée à trois situations de natures différentes : un budget, une figure géométrique, des nombres. Dans chaque cas, il s'agit bien de mettre un problème en équation, comme l'attend le programme.¹ Observe surtout la présentation : c'est celle que tu dois reproduire.

Certains problèmes conduisent à une équation qui n'est plus du premier degré. Le programme prévoit de savoir étudier un problème qui se ramène à une équation de la forme $f(x)=k$, où $f$ est une fonction donnée et $k$ un nombre.¹ Résoudre une telle équation, c'est chercher les antécédents du nombre $k$ par la fonction $f$.

Quand l'énoncé parle de « au plus », « au moins », « à partir de quel nombre » ou de « moins cher », ce n'est pas une égalité qu'il faut écrire mais une inéquation. Le programme associe d'ailleurs la modélisation d'un problème par une inéquation à celle par une équation.¹ La démarche reste la même : inconnue, mise en équation, résolution, interprétation. Seule la nature de la réponse change, puisqu'on obtient un ensemble de valeurs.

Il arrive qu'un énoncé donne deux informations sur deux grandeurs inconnues. Plutôt que de tout exprimer à l'aide d'une seule lettre, on peut introduire deux inconnues et écrire un système d'équations. Tu connais déjà les méthodes de résolution (substitution, combinaison) ; l'enjeu est de bien écrire deux équations, une par information.

Après avoir lu beaucoup de copies, on retrouve toujours les mêmes faiblesses. Les connaître permet de s'en protéger.