Modéliser un problème par une équation : exercices de 2de

On pose : soit $x$ le nombre cherché.

Tripler donne $3x$, retirer 5 donne $3x-5$. L'énoncé dit que le résultat vaut 22, donc $3x-5=22$.

On ajoute 5 aux deux membres : $3x=27$.

On divise par 3 : $x=9$.

Vérification : $3\times 9-5=27-5=22$. C'est bien le résultat annoncé.

On pose : soit $n$ le nombre d'entrées payées.

Le coût total est $12+3n$ euros. Il doit être égal à 45 €, donc $12+3n=45$.

On retire 12 : $3n=33$.

On divise par 3 : $n=11$.

Vérification : $12+3\times 11=12+33=45$ euros. Le budget est exactement utilisé.

On pose : soit $x$ la largeur du rectangle, en centimètres.

La longueur vaut alors $x+7$ centimètres.

Le périmètre est $2\big(x+(x+7)\big)=2(2x+7)$. Il vaut 54, donc $2(2x+7)=54$.

On divise par 2 : $2x+7=27$, puis $2x=20$, donc $x=10$.

Vérification : longueur $17$ cm, périmètre $2\times(10+17)=54$ cm. C'est cohérent.

On pose : soit $n$ le nombre de séances.

Prix du forfait A : $8+2{,}5n$. Prix du forfait B : $20+n$.

Les prix sont égaux quand $8+2{,}5n=20+n$.

On retire $n$ aux deux membres : $8+1{,}5n=20$.

On retire 8 : $1{,}5n=12$, donc $n=\dfrac{12}{1{,}5}=8$.

Vérification : A coûte $8+2{,}5\times 8=28$ €, B coûte $20+8=28$ €.

On pose : soit $s$ le prix d'un stylo, en euros.

Le prix d'un cahier est $s+1$ euros.

Le coût total vaut $3(s+1)+2s$, et il est égal à 13 : $3(s+1)+2s=13$.

On développe : $3s+3+2s=13$, soit $5s+3=13$.

On obtient $5s=10$, donc $s=2$.

Vérification : un cahier coûte 3 €, et $3\times 3+2\times 2=9+4=13$ euros.

On pose : soit $t$ la durée du trajet du motard, en heures.

Le cycliste roule depuis $t+\dfrac12$ heure.

Distance parcourue par le cycliste : $20\left(t+\dfrac12\right)$ km. Distance parcourue par le motard : $50t$ km.

Au rattrapage, les distances sont égales : $20t+10=50t$.

On obtient $10=30t$, donc $t=\dfrac13$ heure.

On convertit : $\dfrac13\times 60=20$ minutes.

Vérification : le motard fait $50\times\dfrac13\approx 16{,}7$ km ; le cycliste, en $\dfrac56$ h, fait $20\times\dfrac56\approx 16{,}7$ km.

La largeur $x$ est une longueur, donc $x>0$.

L'aire donne l'équation $x(x+3)=70$, soit $x^2+3x-70=0$.

On cherche deux nombres dont la somme est 3 et le produit $-70$ : ce sont 10 et $-7$. On vérifie en développant : $(x+10)(x-7)=x^2-7x+10x-70=x^2+3x-70$.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x+10=0$ ou $x-7=0$, donc $x=-10$ ou $x=7$.

La valeur $-10$ est négative : elle ne peut pas être une longueur, on l'écarte.

Vérification : avec $x=7$, la longueur vaut 10 cm et l'aire $7\times 10=70$ cm².

On pose : soit $d$ la distance parcourue, en kilomètres, avec $d\geqslant 0$.

Coût chez A : $40+0{,}2d$. Coût chez B : $0{,}45d$.

Question 1 : on écrit $0{,}45d=40+0{,}2d$.

On retire $0{,}2d$ : $0{,}25d=40$, donc $d=\dfrac{40}{0{,}25}=160$.

Vérification : A coûte $40+0{,}2\times 160=72$ €, B coûte $0{,}45\times 160=72$ €.

Question 2 : B est moins chère si $0{,}45d<40+0{,}2d$, soit $0{,}25d<40$. On divise par $0{,}25$ (positif, le sens ne change pas) : $d<160$.

Contrôle avec $d=100$ : A coûte 60 €, B coûte 45 €, donc B est bien moins chère.