Courbe représentative et résolution graphique : cours de 2de

Dans le chapitre précédent, tu as rencontré la notion de fonction : un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un nombre $f(x)$. On peut décrire une fonction par une formule, par un tableau de valeurs ou par un graphique. Ce chapitre est consacré au graphique, parce qu'il montre d'un seul coup d'œil ce qu'une formule cache : où la fonction monte, où elle descend, où elle prend de grandes valeurs, où elle s'annule.

Cette représentation s'appelle la courbe représentative. Les documents officiels de la classe de seconde l'utilisent de façon systématique : une fonction $f$ y est notée avec sa courbe $\mathcal{C}_f$, tracée dans un plan muni d'un repère.¹ Savoir manier cet outil, c'est être capable de passer sans effort de la formule au dessin, puis du dessin aux réponses.

Il existe pourtant une difficulté bien connue des enseignants : la notion de courbe représentative est délicate, et beaucoup d'élèves peinent à la comprendre.³ Une bonne part du malentendu vient d'une confusion entre deux choses : l'objet mathématique (l'ensemble de tous les points dont les coordonnées vérifient la relation $y=f(x)$) et le dessin qu'on en fait sur une feuille ou à l'écran.³ Le dessin n'est qu'une image de l'objet, forcément partielle et approximative. Garde cette idée en tête pendant tout le chapitre : elle explique pourquoi une lecture graphique donne une valeur approchée alors qu'un calcul donne une valeur exacte.

Un repère du plan est formé de deux axes gradués qui se coupent en un point $O$, l'origine. L'axe horizontal est l'axe des abscisses, l'axe vertical est l'axe des ordonnées. Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $(x\,;\,y)$ : l'abscisse $x$ se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée $y$ sur l'axe vertical. On écrit $M(x\,;\,y)$ et l'on respecte toujours cet ordre : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.

Avant l'arrivée des calculatrices et des logiciels, tout se faisait à la main. Aujourd'hui, une calculatrice, un tableur ou un logiciel de géométrie donnent immédiatement un tracé de la courbe d'une fonction.³ Par exemple, on peut demander à la calculatrice de tracer la fonction $x\mapsto 0{,}5x(x+8)-32$.³ Mais comprendre comment le tracé est construit reste indispensable, parce que l'outil se trompe parfois de fenêtre et que tu dois savoir repérer une courbe absurde.

La méthode à la main consiste à remplir un tableau de valeurs, à placer les points obtenus, puis à les relier par un trait continu, sans angle, en suivant la tendance.

Résoudre l'équation $f(x)=k$, c'est chercher tous les nombres $x$ dont l'image vaut $k$ : ce sont exactement les antécédents de $k$. Graphiquement, cela revient à chercher les points de la courbe situés à la hauteur $k$, c'est-à-dire les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y=k$.

Une inéquation compare deux quantités avec un signe $<$, $\leqslant$, $>$ ou $\geqslant$. Résoudre $f(x)<k$, c'est chercher les $x$ pour lesquels l'image est strictement inférieure à $k$. Sur le graphique, ce sont les abscisses des points de la courbe qui se trouvent strictement au-dessous de la droite $y=k$. De même, $f(x)>k$ correspond aux points situés au-dessus de cette droite. On utilise ce type de lecture pour déterminer l'ensemble des solutions d'une inéquation sur un intervalle donné, par exemple sur $[-2\,;\,3]$.²

Souvent, deux fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le même repère. Un point commun aux deux courbes a la même abscisse et la même ordonnée : pour cette abscisse $x$, on a $f(x)=g(x)$. Résoudre $f(x)=g(x)$ revient donc à lire les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Résoudre $f(x)\leqslant g(x)$ revient à chercher les abscisses où $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ (ou la touche).

Ce type de question apparaît dans les exercices de seconde sur des fonctions représentées dans un même repère, avec une courbe et une droite par exemple.²

Un graphique est un dessin, et un dessin a des limites. Les trois points suivants t'évitent de grosses déconvenues.

La précision. Tu peux lire $2{,}1$ ou $2{,}2$ sans savoir lequel est exact. Si l'énoncé demande une valeur exacte, un calcul est nécessaire. Sinon, tu donnes une valeur approchée, en le disant.

La fenêtre. Une calculatrice ou un logiciel ne montre qu'une partie du plan. Si la courbe sort de l'écran, une solution peut se trouver hors de la zone visible. Pense à modifier les bornes de la fenêtre avant de conclure qu'une équation n'a pas de solution.

Le comportement caché. Entre deux points calculés, la courbe peut faire un détour que tu n'as pas vu. C'est une des raisons pour lesquelles il faut distinguer l'objet mathématique de son dessin.³