Courbe représentative et résolution graphique : exercices de 2de

Le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $2$ a pour ordonnée $f(2)$.

On calcule : $f(2) = 2^2 - 2 \times 2 - 3 = 4 - 4 - 3$.

Donc $f(2) = -3$.

Le point cherché est $(2 ; -3)$. Il est situé sous l'axe des abscisses, ce qui est cohérent avec une ordonnée négative.

Pour $A$ : on calcule $g(1) = -1 + 3 + 1 = 3$.

Comme $g(1) = 3$ est l'ordonnée de $A$, le point $A$ appartient à $\mathcal{C}_g$.

Pour $B$ : comme $B$ est sur la courbe, $k = g(2)$.

On calcule $g(2) = -2^2 + 3 \times 2 + 1 = -4 + 6 + 1 = 3$.

Donc $k = 3$ et $B(2 ; 3)$.

On doit résoudre $f(x) = 5$, soit $x^2 - 2x - 3 = 5$.

On passe tout à gauche : $x^2 - 2x - 8 = 0$.

On factorise : $(x - 4)(x + 2) = x^2 - 2x - 8$, ce qui se vérifie en développant.

Un produit est nul si l'un des facteurs l'est : $x = 4$ ou $x = -2$.

Graphiquement, la droite horizontale d'équation $y = 5$ coupe la courbe en deux points, d'abscisses $-2$ et $4$.

Le plus grand antécédent est $4$.

Tableau pour $f$ : $4, 1, 0, 1, 4$. Tableau pour $g$ : $0, 1, 2, 3, 4$.

Les valeurs coïncident pour $x = -1$ (les deux valent $1$) et pour $x = 2$ (les deux valent $4$).

Les courbes se coupent donc en $(-1 ; 1)$ et $(2 ; 4)$.

Vérification par le calcul : $x^2 = x + 2$ équivaut à $x^2 - x - 2 = 0$, soit $(x + 1)(x - 2) = 0$.

Les solutions sont $x = -1$ et $x = 2$, ce qui confirme la lecture.

L'abscisse positive est $2$.

On repère les points de la courbe d'ordonnée nulle : ce sont $(-1 ; 0)$ et $(1 ; 0)$.

Entre $-1$ et $1$, la courbe passe sous l'axe : $h(x) < 0$, ces valeurs sont exclues.

À gauche de $-1$, jusqu'à $-2$, la courbe est au-dessus de l'axe : $h(x) \geq 0$.

À droite de $1$, jusqu'à $3$, elle est aussi au-dessus.

On inclut $-1$ et $1$ car l'inégalité est large, et on s'arrête à $-2$ et $3$ qui sont dans le domaine.

Ensemble des solutions : $[-2 ; -1] \cup [1 ; 3]$.

Tableau : la flèche monte de $-2$ (en $x = -5$) à $4$ (en $x = -1$), puis descend de $4$ à $0$ (en $x = 3$).

Le maximum est $4$, atteint en $x = -1$.

Sur $[-5 ; -1]$, $k$ croît de $-2$ à $4$ : comme $-2 < 1 < 4$, la valeur $1$ est atteinte exactement une fois.

Sur $[-1 ; 3]$, $k$ décroît de $4$ à $0$ : comme $0 < 1 < 4$, la valeur $1$ est atteinte exactement une fois.

Au total, la droite $y = 1$ coupe la courbe en deux points.

L'équation $k(x) = 1$ a donc $2$ solutions.

$f(4) = 0{,}5 \times 4 \times 12 - 32 = 24 - 32 = -8$.

Pour $f(x) = -32$ : $0{,}5x(x + 8) - 32 = -32$ donne $0{,}5x(x + 8) = 0$.

Un produit est nul si un facteur l'est : $x = 0$ ou $x = -8$. Ce sont les deux antécédents de $-32$.

Pour $f(x) = 0$ : $0{,}5x^2 + 4x - 32 = 0$, et en multipliant par $2$ : $x^2 + 8x - 64 = 0$.

On écrit $x^2 + 8x - 64 = (x + 4)^2 - 16 - 64 = (x + 4)^2 - 80$ ; l'équation devient $(x + 4)^2 = 80$, donc $x + 4 = \sqrt{80}$ ou $x + 4 = -\sqrt{80}$.

La solution positive est $x = -4 + \sqrt{80} \approx -4 + 8{,}944 \approx 4{,}944$.

À la calculatrice, la courbe coupe l'axe des abscisses vers $x \approx 4{,}9$, ce qui concorde avec le calcul.