La fonction inverse : cours de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La fonction inverse associe à tout réel $x$ non nul son inverse $\frac{1}{x}$ ; elle n'est pas définie en $0$ ³.
Elle ne s'annule jamais et n'a ni maximum ni minimum sur $]-\infty\,;0[$ ni sur $]0\,;+\infty[$ ³.
Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ , mais pas sur l'ensemble des réels non nuls : le sens de variation se donne intervalle par intervalle.
Sa courbe est une hyperbole de centre $O$ qui admet les deux axes du repère comme asymptotes ³ ; la fonction est impaire ³.
Pour comparer deux inverses de même signe, l'ordre s'inverse ; pour des nombres de signes contraires, on raisonne directement sur le signe.

Introduction : pourquoi une fonction inverse ?

Tu connais déjà la fonction carré, qui élève un nombre au carré, et les fonctions affines, dont la courbe est une droite. La fonction inverse a un comportement très différent : sa courbe est coupée en deux morceaux, elle « explose » près de $0$ et elle se rapproche de l'axe des abscisses quand $x$ devient grand.

Cette fonction sert partout où une grandeur dépend d'une autre par une relation de proportionnalité inverse : le temps pour parcourir une distance fixée en fonction de la vitesse, la durée d'un trajet partagé à plusieurs, le prix par personne d'un cadeau acheté en commun. Dans ce cours, tu vas apprendre à la définir, à la calculer, à étudier son sens de variation, à reconnaître sa courbe et à résoudre des équations et des inéquations qui la font intervenir.

Définition et ensemble de définition

L'ensemble de définition est donc l'ensemble des réels privé de $0$ . On le note $\mathbb{R}^*$ ou, sous forme d'intervalles, $]-\infty\,;0[\,\cup\,]0\,;+\infty[$ . Le symbole $\cup$ se lit « union » : il regroupe les deux intervalles en un seul ensemble.

Pourquoi exclure $0$ ? Parce que l'inverse d'un nombre $a$ est le nombre qui, multiplié par $a$ , donne $1$ . Or, quel que soit le nombre $b$ que l'on essaie, $0\times b=0$ et jamais $1$ . Le nombre $0$ n'a donc pas d'inverse, et on ne peut pas calculer $\frac{1}{0}$ . Sur une calculatrice, cette opération affiche une erreur.

Images, antécédents et signe

Sens de variation

Observons quelques valeurs pour $x>0$ : $f(0{,}5)=2$ , $f(1)=1$ , $f(2)=0{,}5$ , $f(10)=0{,}1$ . Quand $x$ augmente, l'image diminue. Pour $x<0$ : $f(-4)=-0{,}25$ , $f(-2)=-0{,}5$ , $f(-1)=-1$ , $f(-0{,}5)=-2$ . Ici aussi, quand $x$ augmente (de $-4$ vers $-0{,}5$ ), l'image diminue (de $-0{,}25$ vers $-2$ ). Cela suggère que la fonction est décroissante sur chacun des deux intervalles. Il reste à le démontrer.

Démonstration · Démonstration sur $]0\,;+\infty[$

Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$ . On compare $\frac{1}{a}$ et $\frac{1}{b}$ en étudiant leur différence :

$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}.$

Le numérateur $b-a$ est strictement positif car $a<b$ . Le dénominateur $ab$ est strictement positif car $a$ et $b$ sont positifs. La fraction est donc strictement positive, ce qui donne $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ .

Ainsi $a<b$ entraîne $f(a)>f(b)$ : les images sont rangées dans l'ordre contraire, la fonction est strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$ .

Démonstration · Démonstration sur $]-\infty\,;0[$

Soient $a$ et $b$ tels que $a<b<0$ . La même formule $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}$ s'applique. Le numérateur $b-a$ est strictement positif. Le dénominateur $ab$ est le produit de deux nombres négatifs, donc strictement positif. La différence est strictement positive : $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ . La fonction est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ .

Tableau de variations de la fonction inverse
Intervalle	Variation	Remarque
$]-\infty\,;0[$	Décroissante	Images négatives
$0$	Valeur interdite	Pas d'image
$]0\,;+\infty[$	Décroissante	Images positives

Tableau de variations de la fonction inverse · Le sens de variation se lit intervalle par intervalle.

La courbe représentative : une hyperbole

Courbe de la fonction inverse · Les points B et D sont symétriques par rapport à l'origine.

ValeursCalcule les images pour x positif.
PointsPlace-les dans le repère.
Branche droiteTrace une courbe lisse sans toucher les axes.
Branche gaucheSymétrique par rapport à l'origine.

Tracer l'hyperbole

Comparer des inverses et résoudre des inéquations

Erreurs fréquentes et liens avec le reste du programme

La fonction inverse complète ta collection de fonctions de référence, avec la fonction carré et les fonctions affines. La fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire), alors que l'inverse l'est par rapport à l'origine (fonction impaire). Les deux fonctions se comparent bien : sur $]0\,;+\infty[$ , la fonction carré est croissante et la fonction inverse est décroissante.

Tu retrouveras ces idées dans les chapitres suivants : la fonction valeur absolue, les variations et extremums, puis le signe d'une fonction. Savoir lire un tableau de variations avec valeur interdite est une compétence réutilisée tout au long du lycée.

Fonction inverse

Définition
- f(x) = 1/x
- x ≠ 0
- Pas de zéro
Variations
- Décroissante sur ]0 ; +∞[
- Décroissante sur ]-∞ ; 0[
- Pas d'extremum
Courbe
- Hyperbole
- Asymptotes : les axes
- Centre O
Équations
- Cas x > 0 / x < 0
- Sens des inégalités
- Vérifier

La fonction inverse en un coup d'œil

Exercices corrigés

Exercice 1 Images, antécédents et signe

★☆☆Environ 8 min

Soit $f$ la fonction inverse, $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Calcule $f(8)$ , $f(-0{,}1)$ et $f\left(\frac{5}{4}\right)$ .
Détermine les antécédents éventuels de $-4$ et de $0$ .
Sans calculer, donne le signe de $f(-37)$ .

Indice 1

L'inverse d'une fraction s'obtient en la retournant.

Indice 2

Un antécédent de $k$ est solution de $\frac{1}{x}=k$ .

Voir la correction pas à pas

$f(8)=\frac{1}{8}=0{,}125$ .
$f(-0{,}1)=\frac{1}{-0{,}1}=-10$ .
$f\left(\frac{5}{4}\right)=1\div\frac{5}{4}=\frac{4}{5}=0{,}8$ .
Pour $-4$ : $\frac{1}{x}=-4$ donne $x=-\frac{1}{4}=-0{,}25$ . C'est l'unique antécédent.
Pour $0$ : l'équation $\frac{1}{x}=0$ n'a pas de solution, donc $0$ n'a pas d'antécédent.
Comme $-37<0$ , son inverse est négatif : $f(-37)<0$ .

Tout réel non nul a exactement un antécédent par la fonction inverse, et $0$ n'en a aucun.

Exercice 2 Comparer des inverses

★★☆Environ 10 min

Range dans l'ordre croissant $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{7}$ et $\frac{1}{0{,}5}$ .
Sachant que $-6<x<-2$ , encadre $\frac{1}{x}$ .
Le point d'abscisse $x=-0{,}2$ est sur la courbe de la fonction inverse. Quelle est son ordonnée ?

Indice 1

Les trois nombres de la question 1 sont positifs : l'ordre des inverses est inversé.

Indice 2

Pour la question 2, utilise la décroissance sur $]-\infty\,;0[$ .

Voir la correction pas à pas

On a $0{,}5<3<7$ et ces nombres sont positifs, donc $\frac{1}{0{,}5}>\frac{1}{3}>\frac{1}{7}$ . Dans l'ordre croissant : $\frac{1}{7}<\frac{1}{3}<2$ .
Pour $-6<x<-2$ , tous les nombres sont négatifs : la fonction inverse renverse l'ordre, donc $\frac{1}{-2}<\frac{1}{x}<\frac{1}{-6}$ .
On obtient l'encadrement $-0{,}5<\frac{1}{x}<-\frac{1}{6}$ .
Pour la question 3 : $f(-0{,}2)=\frac{1}{-0{,}2}=-5$ .

Le point $(-0{,}2\,;-5)$ appartient à l'hyperbole ; son symétrique par rapport à l'origine, $(0{,}2\,;5)$ , aussi.

Exercice 3 Résoudre une inéquation

★★★Environ 12 min

Résous dans $\mathbb{R}^*$ l'inéquation $\frac{1}{x}\leqslant 4$ , puis donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalles.

Indice 1

Sépare le cas $x<0$ du cas $x>0$ .

Indice 2

Pour $x>0$ , multiplier par $x$ ne change pas le sens de l'inégalité.

Voir la correction pas à pas

Cas $x<0$ : $\frac{1}{x}$ est négatif, donc strictement inférieur à $4$ . Tous les réels strictement négatifs conviennent.
Cas $x>0$ : on multiplie par $x$ , positif : $1\leqslant 4x$ .
On divise par $4$ : $x\geqslant\frac{1}{4}$ .
Avec la condition $x>0$ , la solution reste $x\geqslant\frac{1}{4}$ .
On réunit les deux cas : $S=]-\infty\,;0[\,\cup\,\left[\frac{1}{4}\,;+\infty\right[$ .
Vérification : pour $x=-3$ , $\frac{1}{x}\approx-0{,}33\leqslant4$ ; pour $x=0{,}1$ , $\frac{1}{x}=10>4$ , donc $0{,}1$ n'est pas solution.

Graphiquement, la courbe est en dessous de la droite $y=4$ pour toute la branche de gauche et à partir de l'abscisse $0{,}25$ sur la branche de droite.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

Calculer $\frac{1}{a}$ revient à chercher le nombre qui, multiplié par $a$ , donne $1$ . Pour $a=0$ , tout produit avec $0$ est nul : on n'obtient jamais $1$ . Le nombre $0$ n'a donc pas d'inverse, et la fonction inverse n'est pas définie en $0$ ³.

Pourquoi dit-on que la fonction est décroissante sur deux intervalles et pas sur $\mathbb{R}^*$ ?

Une fonction est décroissante sur un intervalle quand elle renverse l'ordre pour tous les nombres de cet intervalle. L'ensemble $\mathbb{R}^*$ n'est pas un intervalle : il est coupé en $0$ . Pour $-1<1$ , les images $-1$ et $1$ sont dans le même ordre, ce qui contredit la décroissance. On donne donc le sens de variation sur $]-\infty\,;0[$ puis sur $]0\,;+\infty[$ .

Comment résoudre une inéquation avec $\frac{1}{x}$ sans me tromper ?

Sépare toujours les cas $x>0$ et $x<0$ . Quand tu multiplies par $x$ , le sens de l'inégalité est conservé si $x>0$ et change si $x<0$ . Pense aussi à utiliser le signe : $\frac{1}{x}$ a le même signe que $x$ . Termine en vérifiant avec un nombre test, et en écrivant la réponse avec des intervalles.

À quoi sert la fonction inverse ?

Elle modélise toute situation de proportionnalité inverse. Par exemple, si tu parcours une distance fixe, la durée est inversement proportionnelle à la vitesse. Elle apparaît aussi dans les partages de coûts : plus il y a de personnes, plus la part de chacun est petite. C'est aussi un exemple type de fonction définie sur deux intervalles, utile pour s'entraîner à lire des tableaux de variations.

Que faut-il savoir sur la courbe pour le contrôle ?

Sache la dessiner avec ses deux branches séparées, nommer l'hyperbole, donner ses asymptotes ( $x=0$ et $y=0$ ) et utiliser la symétrie par rapport à l'origine ³. Sache aussi lire graphiquement une équation ou une inéquation en comparant l'hyperbole à une droite horizontale.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique · Ministère de l'Éducation nationale

Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - voie GT, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Fonction inverse, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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La fonction inverse : cours de 2de

L'essentiel

Introduction : pourquoi une fonction inverse ?

Définition et ensemble de définition

Images, antécédents et signe

Sens de variation

La courbe représentative : une hyperbole

Comparer des inverses et résoudre des inéquations

Erreurs fréquentes et liens avec le reste du programme

Exercices corrigés

Exercice 1 Images, antécédents et signe

Exercice 2 Comparer des inverses

Exercice 3 Résoudre une inéquation

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