La fonction inverse : fiche de révision de seconde
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La fonction inverse associe à tout réel xnon nul son inverse x1 ; elle n'est pas définie en 0 3.
Elle ne prend jamais la valeur 0 et n'a ni maximum ni minimum, même sur ]−∞;0[ ou sur ]0;+∞[3.
Elle est décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[, mais pas sur R∗ en entier.
Sa courbe est une hyperbole avec deux asymptotes : les axes du repère 3.
Elle est impaire : l'origine est centre de symétrie de la courbe 3.
Définition et ensemble de définition
Pourquoi exclure 0 ? Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1. La fonction n'existe donc pas en x=0, et c'est ce qui donne à sa courbe une forme en deux morceaux.
Signe, variations et extremums
Démonstration · Pourquoi elle décroît sur ]0 ; +∞[
Prenons 0<a<b. Alors f(a)−f(b)=a1−b1=abb−a.
Comme b−a>0 et ab>0, on obtient f(a)−f(b)>0, donc f(a)>f(b). Deux nombres rangés dans un ordre ont des images rangées dans l'ordre inverse : la fonction est décroissante. Le même calcul avec a<b<0 donne ab>0 aussi, d'où le même résultat sur ]−∞;0[.
Courbe représentative et symétries
Courbe de la fonction inverse · Hyperbole d'équation y = 1/x et ses deux asymptotes.
Méthode : résoudre avec la fonction inverse
Questions flash
5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On peut prendre l'inverse de tout réel non nul3, donc l'ensemble est R∗. Choisir R revient à oublier que 01 n'existe pas ; ]0;+∞[ et [0;+∞[ privent la fonction des valeurs négatives, pourtant permises.
Le calcul a1−b1=abb−a montre la décroissance sur chacun des deux intervalles. Sur R∗ entier, c'est faux : −1<1 mais f(−1)=−1<f(1)=1. Elle décroît aussi sur les négatifs, donc la réponse « seulement sur les positifs » est incomplète.
L'hyperbole a pour asymptotes l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées 3. Les droites y=x et y=−x ne sont pas des asymptotes, même si y=x est un axe de symétrie de la courbe.
Faux : la fonction inverse n'a ni maximum ni minimum sur cet intervalle 3. Ses valeurs descendent vers 0 sans jamais l'atteindre, et 0 n'est pas une image. Dire « le minimum est 0 » est donc faux.
L'inverse de 54 est 45=1,25. L'erreur tentante est de répondre 0,8, qui est le nombre 54 lui-même, ou −1,25, qui est l'opposé de son inverse.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?
Parce que l'inverse de x est le nombre qui, multiplié par x, donne 1. Or 0×y=0 pour tout y : aucun nombre ne convient. La fonction n'est donc définie que sur R∗3. Sur le graphique, cela se voit par l'axe des ordonnées, que la courbe ne traverse jamais.
Comment savoir si on peut comparer deux inverses en renversant l'inégalité ?
Vérifie que les deux nombres sont du même côté de 0, tous deux positifs ou tous deux négatifs. Dans ce cas, a<b donne a1>b1. Si l'un est négatif et l'autre positif, ne renverse rien : l'inverse du négatif reste négatif, donc plus petit que l'inverse du positif.
À quoi sert la fonction inverse ?
Elle décrit toute situation où deux grandeurs varient en sens contraire avec un produit constant, par exemple la durée d'un trajet de longueur fixe en fonction de la vitesse. En seconde, elle sert surtout à résoudre des équations et des inéquations, et à tracer des courbes qui ont des asymptotes.