Fonction inverse : exercices corrigés de 2de

Pour $x=2$ : $f(2)=\frac{1}{2}=0{,}5$.

Pour $x=-5$ : $f(-5)=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}=-0{,}2$.

Pour $x=\frac{1}{4}$ : $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{\frac{1}{4}}=1\times 4=4$.

Pour $x=0$ : l'expression $\frac{1}{0}$ n'a pas de sens, donc $0$ n'a pas d'image par $f$.

On résout $\frac{1}{x}=8$ avec $x\neq 0$. On multiplie par $x$ : $1=8x$, donc $x=\frac{1}{8}=0{,}125$.

On résout $\frac{1}{x}=-4$. On obtient $1=-4x$, donc $x=-\frac{1}{4}=-0{,}25$.

On cherche $x$ tel que $\frac{1}{x}=0$. Un quotient dont le numérateur vaut $1$ ne peut pas être nul : l'équation n'a pas de solution.

On contrôle : $\frac{1}{0{,}125}=8$ et $\frac{1}{-0{,}25}=-4$.

Symétrique par rapport à l'origine : on change les deux signes, donc $B\left(-3\,;-\frac{1}{3}\right)$.

Vérification : $f(-3)=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$, donc $B\in\mathcal{H}$. C'est cohérent avec le fait que la fonction est impaire.³

Symétrique par rapport à $y=x$ : on échange les coordonnées, donc $C\left(\frac{1}{3}\,;3\right)$.

Vérification : $f\left(\frac{1}{3}\right)=3$, donc $C\in\mathcal{H}$.

Équation $\frac{1}{x}=x$ : on multiplie par $x\neq0$ pour obtenir $x^2=1$, donc $x=1$ ou $x=-1$.

Interprétation : les solutions sont les abscisses des points où $\mathcal{H}$ coupe la droite $y=x$, soit $(1\,;1)$ et $(-1\,;-1)$. Ces points sont à la fois sur la courbe et sur l'axe de symétrie.

Dénominateur commun : $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}=\frac{b-a}{ab}$.

Si $0<a<b$, alors $b-a>0$ et $ab>0$ : le quotient est strictement positif.

On en déduit $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ : sur $]0\,;+\infty[$, l'ordre des nombres est inversé quand on passe aux inverses.

Pour $a=3$ et $b=7$ : $\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7-3}{21}=\frac{4}{21}\approx 0{,}190476$, ce qui est positif comme prévu.

Pour $a=-3$ et $b=-7$ : $b-a=-4<0$ et $ab=21>0$, donc $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}<0$. Directement : $-\frac{1}{3}<-\frac{1}{7}$, donc $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ alors que $a>b$ : l'ordre est aussi inversé.

Comme $x\neq0$, on multiplie par $x$ : $1=x(2x-1)=2x^2-x$.

On ramène à zéro : $2x^2-x-1=0$.

On factorise : $(x-1)(2x+1)=2x^2+x-2x-1=2x^2-x-1$. La factorisation est correcte.

Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x-1=0$ ou $2x+1=0$, soit $x=1$ ou $x=-\frac{1}{2}$.

Contrôle de $x=1$ : $\frac{1}{1}=1$ et $2\times1-1=1$. Contrôle de $x=-\frac{1}{2}$ : $\frac{1}{-1/2}=-2$ et $2\times\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-2$.

Question 1 : $x>0$, on multiplie par $x$ sans changer le sens : $1\geq 5x$.

On divise par $5$ : $x\leq\frac{1}{5}$. Avec $x>0$, on obtient $0<x\leq 0{,}2$.

Question 2 : $x<0$, on multiplie par $x$ et on change le sens : $1>-2x$.

On divise par $-2$, ce qui change encore le sens : $-\frac{1}{2}<x$. Avec $x<0$, on obtient $-0{,}5<x<0$.

Contrôle : $x=0{,}1$ donne $\frac{1}{x}=10\geq5$ ; $x=-0{,}25$ donne $\frac{1}{x}=-4<-2$.

Aire = longueur $\times$ largeur, donc largeur $=\frac{12}{x}$ (en m), ce qui a un sens car $x\neq0$. On reconnaît l'inverse de $x$ multiplié par $12$.

Périmètre = $2\times$ (longueur + largeur) $=2\left(x+\frac{12}{x}\right)$.

Pour $x=2$ : largeur $6$, $P=2\times(2+6)=16$ m.

Pour $x=3$ : largeur $4$, $P=2\times(3+4)=14$ m.

Pour $x=2{,}5$ : largeur $\frac{12}{2{,}5}=4{,}8$, $P=2\times(2{,}5+4{,}8)=14{,}6$ m.

Le plus petit des trois est $14$ m, pour $x=3$. Le carré de côté $\sqrt{12}\approx3{,}46$ donne $P=2\times2\sqrt{12}\approx13{,}86$ m, ce qui est encore plus petit.

Affirmation 1 : vraie. Si $y=\frac{1}{x}$, alors $\frac{1}{y}=\frac{1}{1/x}=x$. Cette propriété exprime que la courbe est symétrique par rapport à la droite $y=x$.³

Affirmation 2 : fausse. Un quotient $\frac{1}{x}$ n'est jamais nul, car son numérateur vaut $1$. La fonction inverse ne s'annule pas.³

Affirmation 3 : fausse. L'équation $\frac{1}{x}=x$ équivaut à $x^2=1$, donc $x=1$ ou $x=-1$. Le nombre $-1$ convient aussi : $\frac{1}{-1}=-1$.

Affirmation 4 : vraie. Si $y=\frac{1}{x}$, alors $-y=-\frac{1}{x}=\frac{1}{-x}$, donc $N$ est sur la courbe. La réciproque se fait de la même façon. On retrouve que l'origine est centre de symétrie de la courbe.³