Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b : on multiplie la variable par un nombre a, puis on ajoute un nombre b.3
Sa représentation graphique est une droite ; b est l'ordonnée du point d'abscisse 0, et a mesure de combien f(x) varie quand x augmente de 1.23
Si b=0, la fonction est linéaire ; si a=0, elle est constante : ce sont deux cas particuliers de fonctions affines.3
Le signe de a donne le sens de variation : croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0.
Avec deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) d'abscisses différentes, a=xB−xAyB−yA, puis on trouve b en remplaçant dans y=ax+b.
Introduction : des situations où tout augmente à vitesse régulière
Un abonnement de téléphone avec un prix fixe chaque mois, puis un tarif à la minute. Un robinet qui remplit une baignoire déjà à moitié pleine. Une location de vélo avec une caution et un prix à l'heure. Dans chacune de ces situations, une grandeur dépend d'une autre, et chaque unité supplémentaire ajoute toujours la même quantité.
Les mathématiques décrivent ce comportement avec les fonctions affines. Elles sont les plus simples des fonctions après les fonctions constantes, et tu les as déjà rencontrées en troisième. En seconde, on les consolide et on les utilise pour modéliser des situations de la vie courante.2 Elles servent aussi de brique de base : plus tard, tu étudieras des fonctions plus compliquées, et beaucoup de raisonnements s'appuieront sur ce que tu apprends ici.
Ce cours reprend ce que tu connais déjà d'une fonction et de sa courbe représentative. Tu vas voir comment reconnaître une fonction affine, la représenter, lire ses coefficients sur un graphique, étudier son sens de variation et son signe, et retrouver son expression à partir de deux informations.
Définition et premiers exemples
Pour parler d'une fonction, on emploie une écriture précise. L'expression f(x) se lit « f de x ». Calculer f(x), c'est chercher l'image du nombre x par la fonction f.2 Pour obtenir cette image, il suffit de remplacer x par sa valeur dans l'expression de f.2
Deux cas particuliers : linéaire et constante
Les fonctions linéaires sont celles que tu connais par la proportionnalité : si tu paies 2,50 € le kilogramme de pommes, le prix à payer pour x kilogrammes est f(x)=2,5x. Il n'y a aucun frais fixe, donc b=0. Si on ajoute un sac à 0,30 €, le prix devient f(x)=2,5x+0,3 : la fonction est toujours affine, mais elle n'est plus linéaire.
Représentation graphique : une droite
Une droite est entièrement déterminée par deux points distincts. Pour tracer la courbe d'une fonction affine, il suffit donc de calculer deux images, de placer les deux points correspondants, puis de tracer la droite qui passe par eux.2 On prend un troisième point pour se contrôler : s'il n'est pas aligné avec les deux autres, une erreur de calcul s'est glissée quelque part.
Choisir deux xValeurs simples, comme 0 et 1.
Calculer f(x)Remplacer x dans l'expression.
Placer les pointsAbscisse x, ordonnée f(x).
Tracer la droiteProlonger et contrôler avec un 3e point.
Tracer la droite en quatre gestes · Méthode de tracé d'une fonction affineDeux droites : a > 0 et a < 0 · f est croissante (a = 2), g est décroissante (a = -1).
Le coefficient directeur : pourquoi une droite ?
Démonstration · Vérifier l'égalité pour $f(x)=ax+b$
Le nombre b disparaît : il décale toute la droite vers le haut ou vers le bas, mais il ne change pas les écarts.
Cette égalité donne le sens concret de a. Prends x1=x2+1 : alors f(x2+1)−f(x2)=a×1=a. Chaque fois que x augmente de 1, l'image augmente de a (elle diminue si a est négatif). C'est pour cela que la courbe est une droite : la même avancée horizontale produit toujours la même montée ou descente verticale.
Sens de variation et signe
Démonstration · Pourquoi le signe de $a$ décide
Prenons x1>x2, donc x1−x2>0. On a vu que f(x1)−f(x2)=a(x1−x2).
Si a>0, le produit de deux nombres positifs est positif : f(x1)>f(x2). L'ordre des images est le même que celui des nombres : f est croissante.
Si a<0, le produit d'un négatif et d'un positif est négatif : f(x1)<f(x2). L'ordre est inversé : f est décroissante.
Si a=0, le produit est nul : f(x1)=f(x2).
Pour étudier le signe de f(x)=ax+b avec a=0, on cherche d'abord où la fonction s'annule. L'équation ax+b=0 équivaut à ax=−b, donc x=−ab. La droite coupe l'axe des abscisses en ce point. Comme f est monotone, le signe change une seule fois, en −ab.
Retrouver l'expression d'une fonction affine
Modéliser une situation concrète
Beaucoup de problèmes se traduisent par une fonction affine dès qu'une grandeur dépend d'une autre avec un montant fixe et un montant par unité. Les situations de la vie courante sont l'un des objectifs du travail sur ce chapitre.2
Les erreurs à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Images et antécédents
★☆☆Environ 8 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=3x−4.
Calcule l'image de −2.
Détermine l'antécédent de 11.
La fonction f est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
Indice 1
Pour l'image, remplace x par −2 en mettant des parenthèses.
Indice 2
Pour l'antécédent, résous l'équation 3x−4=11.
Voir la correction pas à pas
Image de −2 : f(−2)=3×(−2)−4=−6−4=−10.
Antécédent de 11 : on résout 3x−4=11, donc 3x=15, donc x=5.
Vérification : f(5)=3×5−4=11.
Le coefficient directeur est a=3>0 : la fonction f est strictement croissante.
L'image de −2 est −10, l'antécédent de 11 est 5, et f est croissante car a=3 est positif.
Exercice 2 Retrouver une fonction affine
★★☆Environ 12 min
La droite D est la représentation graphique d'une fonction affine f. Elle passe par A(1;2) et B(4;11).
Calcule le coefficient directeur a de f.
Détermine l'ordonnée à l'origine b puis écris f(x).
Le point C(10;29) appartient-il à D ?
Indice 1
Utilise a=xB−xAyB−yA.
Indice 2
Remplace x et y par les coordonnées de A dans y=ax+b.
Voir la correction pas à pas
Coefficient directeur : a=4−111−2=39=3.
Comme A est sur la droite, f(1)=2, donc 3×1+b=2, d'où b=−1.
Expression : f(x)=3x−1. Contrôle avec B : f(4)=12−1=11.
Pour C : f(10)=3×10−1=29, ce qui est l'ordonnée de C. Donc C appartient à D.
On obtient a=3, b=−1 et f(x)=3x−1 ; le point C est bien sur la droite.
Exercice 3 Facture de téléphone
★★☆Environ 12 min
Un forfait coûte 12 € par mois, auquel s'ajoutent 0,10 € par minute de communication. On note x le nombre de minutes dans le mois et f(x) le montant de la facture en euros.
Exprime f(x) en fonction de x.
Calcule la facture pour 85 minutes.
Combien de minutes peut-on utiliser avec un budget de 20 € ?
Indice 1
Le montant fixe est b, le prix de chaque minute est a.
Indice 2
Pour la question 3, résous f(x)=20.
Voir la correction pas à pas
Le montant fixe est 12 € et chaque minute coûte 0,10 € : f(x)=0,10x+12.
Pour 85 minutes : f(85)=0,10×85+12=8,5+12=20,5 €.
Pour un budget de 20 € : 0,10x+12=20, donc 0,10x=8, donc x=80.
Vérification : f(80)=8+12=20 €.
La facture pour 85 minutes est de 20,5 € ; avec 20 €, on dispose de 80 minutes.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
4−2x se réécrit −2x+4, de la forme ax+b avec a=−2 et b=4. Les autres contiennent x2 (la dernière se développe en x2−1) ou x au dénominateur : elles ne sont pas affines. L'ordre d'écriture de 4−2x trompe, mais il ne change pas la nature de la fonction.
On remplace x par 2 : −5×2+1=−10+1=−9. Répondre −11 vient d'un calcul −10−1 qui oublie que +1 s'ajoute, et répondre 11 oublie le signe de a.
L'ordonnée à l'origine est f(0)=2×0−1=−1, c'est-à-dire b. Le nombre 2 est le coefficient directeur a, pas l'ordonnée à l'origine. Le signe moins fait partie de b.
Le coefficient directeur −0,5 est négatif, donc f est strictement décroissante. Le fait que b=7 soit positif ne joue aucun rôle dans le sens de variation.
a=2−07−3=24=2. Prendre 42 revient à inverser le rapport : on divise l'écart des ordonnées par l'écart des abscisses, pas l'inverse.
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où b=0.3 Elle n'est constante que si a=0. Aucune condition sur a n'est nécessaire pour être affine.
On résout 2x−6=0, donc 2x=6 et x=3. Répondre −3 vient d'un oubli de changement de signe en passant −6 de l'autre côté ; répondre −6 revient à confondre b avec la solution.
f s'annule en x=4 et, comme a=3>0, elle est croissante : positive après 4. Le signe de a ne donne que le sens de variation, et le signe de b ne donne que le signe de f(0). Par exemple f(0)=−12<0 et f(10)=18>0.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire s'écrit f(x)=ax : l'ordonnée à l'origine est nulle.3 Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b avec un b quelconque. Toute fonction linéaire est donc affine, mais f(x)=2x+3 est affine sans être linéaire. Graphiquement, la droite d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.
Comment savoir si une expression est celle d'une fonction affine ?
Développe et réduis l'expression. Si tu obtiens uniquement un terme en x (avec un coefficient) et un nombre, elle est affine. Si x est au carré, au dénominateur ou sous une racine, elle ne l'est pas. Exemple : 3(x+2)−x=2x+6 est affine, alors que x(x+2)=x2+2x ne l'est pas.
Pourquoi la courbe d'une fonction affine est-elle une droite ?
Parce que le taux d'accroissement est constant : pour tous x1 et x2, f(x1)−f(x2)=a(x1−x2).3 Quand on avance de la même quantité en abscisse, on monte ou on descend toujours de la même quantité en ordonnée. C'est exactement la propriété d'une droite.
Que faire quand $a$ est négatif dans une question de variation ?
Rien de particulier : la fonction est décroissante. Si x1<x2, alors f(x1)>f(x2), car multiplier par un négatif inverse l'ordre. Pour le signe de f(x), résous ax+b=0 et rappelle-toi que, si a<0, la fonction est positive avant la solution et négative après.
Combien de points faut-il pour tracer la droite ?
Deux points suffisent2, mais on en place un troisième pour se contrôler. Les plus simples à calculer sont souvent x=0 (qui donne b) et x=1 ou un autre petit entier. Si les trois points ne sont pas alignés, refais tes calculs.