Fonctions affines : exercices corrigés de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b ; calculer l'image de x, c'est remplacer x par sa valeur dans l'expression ².
Pour trouver un antécédent, on résout l'équation $ax + b = y$ (du premier degré quand $a \neq 0$ ) ; pour trouver l'image, on calcule.
Le coefficient a se calcule avec deux points : a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), puis b se déduit d'un des deux points ³.
Quand b = 0, la fonction est linéaire ³ ; dans un problème de tarif, a est le prix à l'unité et b le prix fixe.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'enchaînent du plus simple au plus délicat. Prends une feuille, cache la correction et cherche d'abord seul(e). Si tu bloques, ouvre un indice, puis reprends. Ne regarde la correction complète qu'une fois ta propre réponse écrite : c'est en comparant que tu repères tes erreurs.

Les exercices

Exercice 1 Calculer une image

★☆☆Environ 4 min

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 3x - 5$ .

Identifie les valeurs de $a$ et de $b$ .
Calcule l'image de $4$ par $f$ .
Calcule l'image de $-2$ par $f$ .

Indice 1

Une fonction affine s'écrit $ax + b$ : lis le nombre devant $x$ , puis le nombre seul.

Indice 2

Pour l'image, remplace $x$ par la valeur donnée, entre parenthèses si elle est négative.

Voir la correction pas à pas

On compare $3x - 5$ avec $ax + b$ : $a = 3$ et $b = -5$ .
Pour $x = 4$ : $f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ .
Pour $x = -2$ : $f(-2) = 3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11$ .

L'image de $4$ est $7$ et l'image de $-2$ est $-11$ . Pour obtenir une image, on remplace $x$ par sa valeur puis on calcule ².

Exercice 2 Chercher un antécédent

★☆☆Environ 5 min

Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = 2x + 7$ .

Calcule $g(0)$ .
Détermine l'antécédent de $15$ par $g$ .
Le nombre $-3$ a-t-il pour image $2$ ? Justifie.

Indice 1

Un antécédent de $15$ est un nombre $x$ tel que $g(x) = 15$ .

Indice 2

Isole $x$ : retire $7$ des deux côtés, puis divise par $2$ .

Voir la correction pas à pas

$g(0) = 2 \times 0 + 7 = 7$ .
On cherche $x$ tel que $2x + 7 = 15$ .
On retire $7$ des deux côtés : $2x = 8$ .
On divise par $2$ : $x = 4$ . Vérification : $g(4) = 8 + 7 = 15$ .
Pour la question 3, on calcule $g(-3) = 2 \times (-3) + 7 = -6 + 7 = 1$ . Comme $1 \neq 2$ , l'image de $-3$ n'est pas $2$ .

L'antécédent de $15$ est $4$ . Et $-3$ a pour image $1$ , donc la réponse à la question 3 est non.

Exercice 3 Reconstituer une fonction à partir de deux points

★☆☆Environ 7 min

Une fonction affine $f$ vérifie $f(1) = 4$ et $f(3) = 10$ .

Calcule le coefficient $a$ .
Calcule $b$ .
Écris $f(x)$ , puis calcule $f(5)$ .

Indice 1

Le coefficient $a$ est le quotient de l'écart des images par l'écart des abscisses.

Indice 2

Une fois $a$ connu, écris $f(1) = a \times 1 + b$ et résous pour $b$ .

Voir la correction pas à pas

Les écarts : $f(3) - f(1) = 10 - 4 = 6$ et $3 - 1 = 2$ .
Le coefficient est $a = \dfrac{6}{2} = 3$ : l'écart des images est proportionnel à l'écart des abscisses ³.
On utilise $f(1) = 4$ : $3 \times 1 + b = 4$ , donc $b = 1$ .
Donc $f(x) = 3x + 1$ .
Enfin $f(5) = 3 \times 5 + 1 = 16$ . On peut contrôler avec l'autre point : $f(3) = 9 + 1 = 10$ , ce qui est bien la donnée de départ.

La fonction est $f(x) = 3x + 1$ et $f(5) = 16$ .

Exercice 4 Où la fonction s'annule-t-elle ?

★★☆Environ 8 min

Soit $h(x) = -2x + 6$ .

Résous $h(x) = 0$ .
Complète le tableau de signes de $h$ sur $\mathbb{R}$ : pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $h(x) > 0$ ? $h(x) < 0$ ?
Compare $h(1)$ et $h(4)$ : que remarques-tu ?

Indice 1

$h(x) = 0$ revient à $-2x + 6 = 0$ .

Indice 2

Pour le signe, résous $-2x + 6 > 0$ en pensant à ce qui se passe quand on divise par un nombre négatif.

Voir la correction pas à pas

On résout $-2x + 6 = 0$ : $-2x = -6$ , donc $x = 3$ .
Pour $h(x) > 0$ : $-2x + 6 > 0$ donne $-2x > -6$ . En divisant par $-2$ , le sens de l'inégalité change : $x < 3$ .
De même $h(x) < 0$ pour $x > 3$ .
Calculs : $h(1) = -2 + 6 = 4$ et $h(4) = -8 + 6 = -2$ .
On voit que $h(4) < h(1)$ alors que $4 > 1$ . L'écart $h(4) - h(1)$ vaut $-6$ , qui est bien $a \times (4 - 1) = -2 \times 3$ ³ : un coefficient $a$ négatif fait baisser les images quand $x$ augmente.

La fonction $h$ s'annule en $3$ , elle est positive avant $3$ et négative après.

Exercice 5 Vérifier la propriété des accroissements

★★☆Environ 8 min

Soit $k(x) = -4x + 9$ . On prend $x_1 = 5$ et $x_2 = 2$ .

Calcule $k(x_1)$ et $k(x_2)$ .
Calcule la différence $k(x_1) - k(x_2)$ .
Calcule $a(x_1 - x_2)$ avec $a = -4$ et compare.
Démontre que pour tous réels $x_1$ et $x_2$ , $k(x_1) - k(x_2) = -4(x_1 - x_2)$ .

Indice 1

Écris chaque image avec des parenthèses : $k(5) = -4 \times 5 + 9$ .

Indice 2

Pour la preuve générale, développe $k(x_1) - k(x_2)$ et regarde ce qu'il advient du $+9$ .

Voir la correction pas à pas

$k(5) = -20 + 9 = -11$ et $k(2) = -8 + 9 = 1$ .
La différence est $-11 - 1 = -12$ .
D'autre part, $-4 \times (5 - 2) = -4 \times 3 = -12$ . Les deux résultats sont égaux.
Cas général : $k(x_1) - k(x_2) = (-4x_1 + 9) - (-4x_2 + 9)$ .
Les deux $9$ se compensent : on obtient $-4x_1 + 4x_2 = -4(x_1 - x_2)$ .

La constante $b$ disparaît dans la différence : c'est pourquoi, pour une fonction affine, l'écart des images est proportionnel à l'écart des abscisses, avec $a$ comme coefficient ³.

Exercice 6 Facture téléphonique

★★☆Environ 10 min

Un forfait téléphonique coûte $12$ € d'abonnement par mois, auquel s'ajoutent $0{,}10$ € par minute de communication. Le montant de la facture est une fonction affine du nombre $x$ de minutes dans le mois ³.

Exprime la facture $F(x)$ en euros en fonction de $x$ .
Calcule la facture pour $150$ minutes.
Pendant un mois, Lina a payé $30$ €. Combien de minutes a-t-elle téléphoné ?

Indice 1

Le prix fixe joue le rôle de $b$ , le prix à la minute celui de $a$ .

Indice 2

Pour la question 3, c'est un antécédent qu'on cherche : résous $F(x) = 30$ .

Voir la correction pas à pas

Le coefficient $a$ est le prix par minute, soit $0{,}10$ ; le terme constant $b$ est l'abonnement, soit $12$ . Donc $F(x) = 0{,}10x + 12$ .
Pour $150$ minutes : $F(150) = 0{,}10 \times 150 + 12 = 15 + 12 = 27$ €.
On résout $0{,}10x + 12 = 30$ , d'où $0{,}10x = 18$ .
On divise par $0{,}10$ : $x = 180$ . Vérification : $0{,}10 \times 180 + 12 = 18 + 12 = 30$ .

La facture pour $150$ minutes est de $27$ € et Lina a téléphoné $180$ minutes.

Exercice 7 Un point appartient-il à la droite ?

★★☆Environ 6 min

Soit $f(x) = -5x + 1$ et $\mathcal{D}$ sa représentation graphique, qui est une droite ².

Le point $P(2\,;\,-9)$ appartient-il à $\mathcal{D}$ ?
Le point $Q(-1\,;\,4)$ appartient-il à $\mathcal{D}$ ?
Quelle est l'ordonnée du point de $\mathcal{D}$ d'abscisse $0$ ?

Indice 1

Un point $M(x_M\,;\,y_M)$ est sur la courbe si et seulement si $f(x_M) = y_M$ .

Indice 2

L'abscisse $0$ correspond à l'image de $0$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $P$ : $f(2) = -5 \times 2 + 1 = -9$ . C'est bien l'ordonnée de $P$ , donc $P \in \mathcal{D}$ .
Pour $Q$ : $f(-1) = -5 \times (-1) + 1 = 6$ . Comme $6 \neq 4$ , $Q \notin \mathcal{D}$ .
Pour l'abscisse $0$ : $f(0) = 1$ . La droite coupe l'axe des ordonnées au point $(0\,;\,1)$ : l'ordonnée à l'origine est $b = 1$ .

$P$ est sur la droite, $Q$ n'y est pas, et la droite passe par $(0\,;\,1)$ .

Exercice 8 Comparer deux tarifs

★★★Environ 12 min

Une salle de sport propose deux formules pour $x$ entrées dans le mois :

Formule A : $30$ € d'abonnement, puis $2$ € par entrée.
Formule B : sans abonnement, $5$ € par entrée.

Écris les expressions $A(x)$ et $B(x)$ .
Pour quel nombre d'entrées les deux formules coûtent-elles autant ?
Pour $14$ entrées, quelle formule est la plus avantageuse ? Et pour $6$ entrées ?
Explique pourquoi $B$ est une fonction linéaire.

Indice 1

Pour chaque formule, repère le prix fixe ( $b$ ) et le prix à l'unité ( $a$ ).

Indice 2

Le prix est le même quand $A(x) = B(x)$ : résous cette équation.

Voir la correction pas à pas

$A(x) = 2x + 30$ et $B(x) = 5x$ .
On résout $2x + 30 = 5x$ : on retire $2x$ de chaque côté, $30 = 3x$ , donc $x = 10$ .
Pour $14$ entrées : $A(14) = 28 + 30 = 58$ et $B(14) = 70$ . La formule A est la moins chère.
Pour $6$ entrées : $A(6) = 12 + 30 = 42$ et $B(6) = 30$ . La formule B est la moins chère.
$B(x) = 5x$ est de la forme $ax + b$ avec $b = 0$ : c'est un cas particulier de fonction affine, appelé fonction linéaire ³.

Les deux formules coûtent autant pour $10$ entrées. En dessous, B est préférable ; au-dessus, A l'est. Graphiquement, $10$ est l'abscisse du point où les deux droites se croisent.

Exercice 9 Déterminer une fonction avec des valeurs négatives

★★★Environ 12 min

Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = 7$ et $f(-1) = -5$ .

Calcule le coefficient $a$ .
Calcule $b$ , puis donne l'expression de $f(x)$ .
Calcule l'image de $10$ .
Détermine l'antécédent de $-13$ .

Indice 1

Attention aux signes : $x_2 - x_1$ avec $x_2 = 2$ et $x_1 = -1$ vaut $2 - (-1) = 3$ .

Indice 2

Pour l'antécédent, écris $4x + b = -13$ avec la valeur de $b$ trouvée.

Voir la correction pas à pas

Écart des images : $f(2) - f(-1) = 7 - (-5) = 12$ . Écart des abscisses : $2 - (-1) = 3$ .
Donc $a = \dfrac{12}{3} = 4$ ³.
Avec $f(2) = 7$ : $4 \times 2 + b = 7$ , donc $b = -1$ et $f(x) = 4x - 1$ .
Contrôle avec l'autre point : $f(-1) = -4 - 1 = -5$ . C'est correct.
Image de $10$ : $f(10) = 40 - 1 = 39$ .
Antécédent de $-13$ : $4x - 1 = -13$ donne $4x = -12$ , soit $x = -3$ .

$f(x) = 4x - 1$ , l'image de $10$ est $39$ et l'antécédent de $-13$ est $-3$ .

Les questions qu'on se pose

Comment reconnaître une fonction affine dans un énoncé ?

Cherche une situation où il y a un prix ou une valeur de départ fixe, plus une quantité qui augmente d'un même montant à chaque unité : abonnement plus prix à la minute, par exemple ³. L'expression s'écrit alors $ax + b$ ². Si le montant ajouté change selon l'unité, ce n'est plus une fonction affine.

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

La fonction linéaire est le cas particulier où le terme constant est nul, c'est-à-dire $b = 0$ ³. Toute fonction linéaire est donc affine, mais l'inverse est faux : $f(x) = 3x + 1$ est affine sans être linéaire.

Je trouve un coefficient a différent selon l'ordre de mes points. Qu'ai-je fait de faux ?

Tu as sans doute mélangé l'ordre dans l'un des deux écarts. Le quotient $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ donne le même résultat que $\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ , mais pas que $\dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$ . Garde le même ordre en haut et en bas, puis vérifie avec le second point.

Sources

Programme visé : Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse (Bulletin officiel)

Programme d'enseignement de mathématiques de la classe de seconde générale et technologique, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse (Bulletin officiel). Consulté le 9 novembre 2026.
FONCTION AFFINE – Sesamath, Sesamath. Consulté le 9 novembre 2026.
Fonction affine, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Fonction affine par morceaux, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

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Exercice 3 Reconstituer une fonction à partir de deux points

Exercice 4 Où la fonction s'annule-t-elle ?

Exercice 5 Vérifier la propriété des accroissements

Exercice 6 Facture téléphonique

Exercice 7 Un point appartient-il à la droite ?

Exercice 8 Comparer deux tarifs

Exercice 9 Déterminer une fonction avec des valeurs négatives

Les questions qu'on se pose

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