Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de 2de
Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour un angle aigu donné, le quotient de deux côtés d'un triangle rectangle reste le même, quelle que soit la taille du triangle : c'est ce qui permet de définir sinus, cosinus et tangente 6.
Pour un angle aigu : sinus = côté opposé ÷ hypoténuse ; cosinus = côté adjacent ÷ hypoténuse ; tangente = côté opposé ÷ côté adjacent.
La tangente est le quotient du sinus par le cosinus 5, et on a toujours cos2x+sin2x=1.
Valeurs à connaître pour 30°, 45° et 60° : sin30°=21, cos30°=23, sin45°=cos45°=22, tan45°=1, tan60°=3.
Pour trouver une longueur on choisit le rapport qui relie la donnée et l'inconnue ; pour trouver un angle on utilise la fonction réciproque de la calculatrice, en mode degré.
Introduction : pourquoi des rapports d'angles ?
Tu connais déjà les triangles rectangles depuis le collège, avec le théorème de Pythagore : il relie les trois longueurs des côtés. Mais que faire quand tu connais un angle et une seule longueur ? Pythagore ne suffit plus. La trigonométrie répond à cette question : elle relie les angles aigus d'un triangle rectangle aux longueurs de ses côtés. Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle sont une notion du cycle 4 2, que la classe de seconde reprend et approfondit, en particulier avec le sinus et le cosinus des angles usuels 1.
L'idée de départ est simple. Si tu dessines deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu, l'un petit et l'autre grand, ils ont la même forme : l'un est un agrandissement de l'autre. Les longueurs changent, mais les rapports entre longueurs restent identiques. C'est la propriété qui fonde tout le chapitre : seul l'angle détermine ces quotients de côtés, pas la taille du triangle 6.
Dans ce cours, tu vas apprendre à nommer les côtés d'un triangle rectangle selon l'angle choisi, à définir sinus, cosinus et tangente, à connaître les valeurs des angles de 30°, 45° et 60°, puis à utiliser tout cela pour calculer une longueur ou un angle. Tu verras aussi les pièges classiques (calculatrice mal réglée, mauvais côté choisi) et la façon de les éviter.
Nommer les côtés d'un triangle rectangle
Tout part d'un triangle rectangle. Prenons un triangle ABC rectangle en A. Le côté en face de l'angle droit, [BC], est l'hypoténuse : c'est toujours le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés, [AB] et [AC], forment l'angle droit.
Triangle rectangle ABC de côtés 3, 4 et 5 · Pour l'angle B : AC est opposé, AB adjacent, BC hypoténuse.
Sinus, cosinus et tangente
Pourquoi ces rapports portent-ils un nom ? Parce que, pour un angle aigu donné, le rapport de deux côtés ne change pas quand on agrandit ou réduit le triangle 6. Il devient donc une caractéristique de l'angle. On lui donne un nom selon les deux côtés comparés.
Relations entre sinus, cosinus et tangente
Démonstration · Preuve des deux relations
Soit ABC rectangle en A et x la mesure de l'angle en B.
Quotient. On a cosxsinx=AB/BCAC/BC=BCAC×ABBC=ABAC=tanx.
Somme des carrés. On a cos2x+sin2x=BC2AB2+BC2AC2=BC2AB2+AC2. Le théorème de Pythagore donne AB2+AC2=BC2, donc la fraction vaut 1.
Les valeurs à connaître : 30°, 45° et 60°
Le programme de seconde demande de connaître le sinus et le cosinus des angles usuels 1 ; dans le triangle rectangle, on retient surtout ceux de 30°, 45° et 60°. Plutôt que d'apprendre un tableau par cœur, tu peux les retrouver avec deux triangles simples. Un exercice classique consiste d'ailleurs à construire un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 4 cm et dont un angle aigu mesure 30° 3 : c'est la même idée.
Démonstration · Retrouver les valeurs pour 30° et 60°
On part d'un triangle équilatéral ABC de côté 2. Sa hauteur issue de A coupe [BC] en son milieu H. Le triangle ABH est rectangle en H, avec AB=2 (hypoténuse), BH=1 et un angle de 60° en B (angle du triangle équilatéral), donc un angle de 30° en A.
Pythagore donne AH2=22−12=3, soit AH=3.
Pour l'angle de 30° (en A) : opposé BH=1, adjacent AH=3, hypoténuse 2. Donc sin30°=21, cos30°=23, tan30°=31=33.
Pour l'angle de 60° (en B) : opposé AH=3, adjacent BH=1. Donc sin60°=23, cos60°=21, tan60°=3.
Démonstration · Retrouver les valeurs pour 45°
On part d'un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 1. Ses angles aigus valent chacun 45°. Pythagore donne une hypoténuse égale à 12+12=2.
Alors sin45°=21=22, cos45°=22 et tan45°=11=1.
Sinus, cosinus et tangente de 30°, 45° et 60°
Angle
Sinus
Cosinus
Tangente
30°
1/2
√3/2
√3/3
45°
√2/2
√2/2
1
60°
√3/2
1/2
√3
Sinus, cosinus et tangente de 30°, 45° et 60° · Valeurs exactes à retrouver avec le demi-triangle équilatéral et le triangle rectangle isocèle.
Calculer une longueur
Quand tu connais un angle aigu et un côté, tu peux trouver un autre côté. Les rapports de longueurs ne dépendant que de l'angle 6, il suffit de choisir le bon rapport.
SchémaDessine, marque l'angle droit et l'angle connu.
NommerOpposé, adjacent, hypoténuse pour cet angle.
ChoisirSinus, cosinus ou tangente selon donnée et inconnue.
RésoudreÉcris l'égalité et isole l'inconnue.
VérifierUnité, mode degré, hypoténuse la plus longue.
Calculer une longueur en cinq étapes
Calculer un angle
Si tu connais deux côtés et que tu cherches un angle aigu, tu calcules d'abord le rapport, puis tu utilises la fonction réciproque de la calculatrice : sin−1 (ou arcsin), cos−1 (arccos) ou tan−1 (arctan). Elle donne l'angle dont le sinus, le cosinus ou la tangente est le nombre saisi.
Problèmes et erreurs fréquentes
Les situations réelles (hauteur d'un arbre, pente d'une rampe, inclinaison d'une échelle) se ramènent presque toutes à un triangle rectangle. La démarche reste la même : faire un schéma, placer l'angle droit, repérer l'angle connu, nommer les côtés, choisir le rapport.
Exercices corrigés
Exercice 1 Longueur d'un côté avec un angle de 30°
★☆☆Environ 5 min
Le triangle ABC est rectangle en A. On donne BC=10 cm et B=30°. Calcule la longueur AC en centimètres.
Indice 1
Pour l'angle B, AC est le côté opposé et BC l'hypoténuse.
Indice 2
Rappelle-toi la valeur de sin30°.
Voir la correction pas à pas
On repère les côtés pour l'angle B : AC est opposé, BC=10 cm est l'hypoténuse.
Opposé et hypoténuse : on utilise le sinus, donc sinB=BCAC.
On remplace : sin30°=10AC, avec sin30°=21.
On isole AC : AC=10×21=5 cm.
On obtient AC=5 cm. On vérifie que AC<BC, ce qui est normal puisque l'hypoténuse est le plus long côté.
Exercice 2 Un angle à partir de deux côtés
★★☆Environ 8 min
Le triangle RST est rectangle en R, avec RS=12 cm et RT=5 cm. Calcule la mesure de l'angle S en degrés, arrondie au dixième.
Indice 1
Pour l'angle S, quel côté est opposé, lequel est adjacent ?
Indice 2
Les deux côtés connus sont l'opposé et l'adjacent : quel rapport les relie ?
Voir la correction pas à pas
Pour l'angle S : le côté opposé est RT=5 cm, le côté adjacent est RS=12 cm.
Opposé et adjacent : on utilise la tangente, donc tanS=RSRT=125.
On applique la fonction réciproque en mode degré : S=arctan(125)≈22,6°.
L'angle S mesure environ 22,6°, soit à peu près 23° au degré près. L'angle T vaut alors environ 67,4°.
Exercice 3 Hauteur atteinte par une échelle
★★☆Environ 8 min
Une échelle de 4 m est posée contre un mur vertical. Elle forme un angle de 60° avec le sol horizontal. À quelle hauteur du sol touche-t-elle le mur ? Donne la valeur arrondie au centième de mètre.
Indice 1
Fais un schéma : le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.
Indice 2
L'échelle est l'hypoténuse ; la hauteur cherchée est opposée à l'angle de 60°.
Voir la correction pas à pas
Le sol et le mur forment l'angle droit ; l'échelle (4 m) est l'hypoténuse.
La hauteur h est le côté opposé à l'angle de 60° : opposé et hypoténuse, donc le sinus.
On écrit sin60°=4h, avec sin60°=23.
On isole h : h=4×23=23≈3,46 m.
L'échelle touche le mur à environ 3,46 m du sol. Cette hauteur est inférieure à 4 m, ce qui est cohérent.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Le sinus est le quotient du côté opposé à l'angle par l'hypoténuse. Pour B, le côté opposé est [AC] et l'hypoténuse [BC]. Le choix BCAB est le cosinus, et ABAC est la tangente.
Dans le demi-triangle équilatéral de côté 2, le côté adjacent à 60° mesure 1 pour une hypoténuse de 2, donc cos60°=21. La valeur 23 est celle de cos30° : c'est la confusion classique entre 30° et 60°.
La tangente est le quotient opposé ÷ adjacent, soit 6÷6=1. L'angle vaut alors 45°. Le nombre 6 n'est qu'une longueur, pas un rapport.
On a cos2x=1−sin2x=1−0,64=0,36, donc cosx=0,6. Le résultat 0,64 est sin2x, et 0,2=1−0,8 oublie les carrés.
En mode degré, sin30 donne 0,5. La valeur −0,988 est le sinus de 30 radians : la calculatrice n'est pas réglée en degrés. Le sinus d'un angle aigu n'est jamais négatif.
Vrai : la tangente compare l'opposé à l'adjacent, et l'opposé peut être plus long. Par exemple tan60°=3≈1,73. Seuls le sinus et le cosinus restent inférieurs à 1, car ils divisent par l'hypoténuse.
Opposé et hypoténuse : sinus. Le côté opposé vaut 10×sin30°=10×0,5=5 cm. Multiplier par le cosinus donnerait le côté adjacent, soit environ 8,66 cm, ce qui répondrait à une autre question.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir s'il faut utiliser sinus, cosinus ou tangente ?
Repère l'angle utilisé, puis nomme les côtés : opposé, adjacent, hypoténuse. Regarde ensuite quelles sont ta donnée et ton inconnue. Opposé et hypoténuse : sinus. Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et adjacent : tangente. Le mot SOH-CAH-TOA résume ces trois cas.
Pourquoi la calculatrice doit-elle être en mode degré ?
Les angles se mesurent en degrés, en radians ou en grades, et la calculatrice applique le mode choisi. En mode radian, elle lit « 30 » comme 30 radians et renvoie une valeur sans rapport avec 0,5. Test rapide : sin30 doit donner 0,5.
Peut-on utiliser la trigonométrie dans un triangle qui n'est pas rectangle ?
Pas avec ces formules : sinus, cosinus et tangente telles qu'elles sont définies ici ne valent que dans un triangle rectangle. Dans un triangle quelconque, on peut parfois le découper en deux triangles rectangles en traçant une hauteur, puis appliquer la méthode à chacun.
À quoi sert la trigonométrie dans la vie courante ?
Elle permet de calculer des distances qu'on ne peut pas mesurer directement : la hauteur d'un bâtiment, la pente d'une rampe, la longueur d'un câble ou l'angle d'une échelle. On mesure un angle et une longueur facile à obtenir, puis on calcule le reste.
Dois-je apprendre les valeurs de 30°, 45° et 60° par cœur ?
Oui, elles reviennent souvent, mais tu peux les retrouver en dessinant un demi-triangle équilatéral (30° et 60°) et un triangle rectangle isocèle (45°). Le programme de seconde met d'ailleurs en avant le sinus et le cosinus des angles usuels 1.