Trigonométrie dans le triangle rectangle : exercices de 2de

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Quand l'angle aigu reste le même dans un triangle rectangle, le quotient de deux côtés ne change pas, quelle que soit la taille du triangle ⁶.
Pour un angle aigu : sinus = côté opposé / hypoténuse ; cosinus = côté adjacent / hypoténuse ; tangente = côté opposé / côté adjacent.
La tangente d'un angle est le quotient de son sinus par son cosinus ⁵.
Pour trouver un angle à partir de deux côtés, on utilise la touche réciproque de la calculatrice (arctan, arcsin, arccos) ⁶.
Avant tout calcul : calculatrice en mode degrés, angle repéré, côtés nommés par rapport à cet angle.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices s'appuient sur les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle, vus au collège et repris en Seconde ². Une idée les rend possibles : le quotient de deux côtés ne dépend que de l'angle aigu choisi ⁶. Autrement dit, agrandir ou réduire le triangle ne change rien : à angle égal, le rapport reste égal.

Lis l'énoncé, cherche seul pendant quelques minutes, puis ouvre les indices un par un avant de regarder la correction. Les exercices sont rangés par difficulté croissante.

MéthodeLa méthode en quatre temps

Repère l'angle aigu dont il est question et nomme les côtés par rapport à lui : l'hypoténuse (en face de l'angle droit), le côté opposé à l'angle, le côté adjacent à l'angle.
Choisis le rapport selon les deux côtés concernés (un connu, un cherché, ou deux connus) :
- $\sin(\hat{x}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\cos(\hat{x}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan(\hat{x}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Écris l'égalité, puis résous-la : produit en croix pour une longueur, touche réciproque pour un angle.
Conclus avec l'unité et un arrondi raisonnable, puis vérifie la vraisemblance (l'hypoténuse est le plus grand côté).

Valeurs remarquables à connaître

Le programme de Seconde demande de connaître le sinus et le cosinus de certains angles remarquables, dont 0° et 30°, en s'appuyant sur des triangles particuliers du collège ¹. L'exercice 2 utilise la valeur de sin(30°) et l'exercice 7 te fait retrouver celle de sin(45°) par raisonnement, plutôt que de l'apprendre par cœur.

Exercices

Les exercices suivants sont présentés dans l'ordre de difficulté. Les angles sont en degrés ; arrondis les longueurs au centième et les angles au centième de degré, sauf indication contraire.

Les exercices

Exercice 1 Lire un cosinus dans un triangle

★☆☆Environ 5 min

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm.

Calcule $\cos(\widehat{ABC})$ sous forme décimale.

Indice 1

Quel est le côté adjacent à l'angle en $B$ ? Quelle est l'hypoténuse ?

Voir la correction pas à pas

L'angle droit est en $A$ , donc l'hypoténuse est le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$ , de longueur 10 cm.
Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , le côté adjacent (celui qui touche $B$ , hors hypoténuse) est $[AB]$ , de longueur 6 cm.
On écrit : $\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}$ .
On simplifie : $\cos(\widehat{ABC}) = 0{,}6$ .

$\cos(\widehat{ABC}) = 0{,}6$ . Ce nombre est bien compris entre 0 et 1, comme il se doit.

Exercice 2 Construire et mesurer à partir de 30°

★☆☆Environ 6 min

Un triangle $DEF$ est rectangle en $E$ . L'hypoténuse $DF$ mesure 4 cm et l'angle $\widehat{EDF}$ mesure 30°.

Calcule la longueur $EF$ en cm. On rappelle que $\sin(30°)=\dfrac12$ .

Indice 1

Le côté $[EF]$ est-il opposé ou adjacent à l'angle en $D$ ?

Indice 2

Quel rapport relie le côté opposé et l'hypoténuse ?

Voir la correction pas à pas

L'angle considéré est en $D$ . Le côté $[EF]$ est en face de $D$ : c'est le côté opposé.
On connaît l'hypoténuse $DF=4$ cm : le rapport adapté est le sinus.
On écrit $\sin(30°)=\dfrac{EF}{DF}=\dfrac{EF}{4}$ .
On isole : $EF = 4\times\sin(30°)=4\times\dfrac12 = 2$ .

$EF = 2$ cm. On retrouve un résultat classique : dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°, le côté opposé à cet angle vaut la moitié de l'hypoténuse.

Exercice 3 Longueur d'un côté adjacent

★☆☆Environ 7 min

Le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ . On donne $GI = 12$ cm et $\widehat{HGI}=40°$ .

Calcule $GH$ , arrondi au centième de cm.

Indice 1

Le côté $[GH]$ touche l'angle en $G$ : il est adjacent.

Indice 2

Cosinus : adjacent sur hypoténuse.

Voir la correction pas à pas

Par rapport à l'angle $\widehat{HGI}$ , le côté $[GH]$ est adjacent et $[GI]$ est l'hypoténuse.
On utilise le cosinus : $\cos(40°)=\dfrac{GH}{GI}=\dfrac{GH}{12}$ .
On isole : $GH = 12\times\cos(40°)$ .
La calculatrice (mode degrés) donne $\cos(40°)\approx 0{,}7660$ , d'où $GH\approx 12\times0{,}7660\approx 9{,}19$ cm.

$GH\approx 9{,}19$ cm. Vérification : 9,19 < 12, donc le côté adjacent est bien plus court que l'hypoténuse.

Exercice 4 Trouver un angle avec la tangente

★★☆Environ 8 min

Le triangle $JKL$ est rectangle en $K$ , avec $JK = 12$ cm et $KL = 5$ cm.

Calcule la mesure de l'angle $\widehat{KJL}$ en degrés, arrondie au centième.

Indice 1

Par rapport à l'angle en $J$ , $[KL]$ est le côté opposé et $[JK]$ le côté adjacent.

Indice 2

Pour retrouver un angle à partir de son rapport, on utilise la fonction réciproque de la tangente.

Voir la correction pas à pas

Par rapport à $\widehat{KJL}$ , le côté opposé est $[KL]=5$ cm et le côté adjacent est $[JK]=12$ cm.
On connaît ces deux côtés, sans l'hypoténuse : la tangente convient. $\tan(\widehat{KJL})=\dfrac{5}{12}$ .
On applique la touche réciproque de la calculatrice (notée arctan, ou $\tan^{-1}$ ) : $\widehat{KJL}=\arctan\left(\dfrac{5}{12}\right)$ ⁶.
La calculatrice en degrés donne $\widehat{KJL}\approx 22{,}62°$ .

$\widehat{KJL}\approx 22{,}62°$ , soit environ 23° à l'unité près. Un angle de l'ordre de 23° est cohérent avec un côté opposé nettement plus court que l'adjacent.

Exercice 5 L'échelle contre le mur

★★☆Environ 8 min

Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Elle forme avec le sol horizontal un angle de 70°.

À quelle hauteur du mur l'échelle s'appuie-t-elle ? Arrondis au centième de mètre.

Indice 1

Fais un schéma : le sol, le mur et l'échelle forment un triangle rectangle. Où est l'angle droit ?

Indice 2

La hauteur cherchée est opposée à l'angle de 70°.

Voir la correction pas à pas

Le mur et le sol sont perpendiculaires : le triangle est rectangle au pied du mur. L'échelle est l'hypoténuse (5 m).
L'angle de 70° est situé entre le sol et l'échelle. La hauteur $h$ atteinte sur le mur est en face de cet angle : c'est le côté opposé.
Opposé et hypoténuse : on utilise le sinus. $\sin(70°)=\dfrac{h}{5}$ .
Donc $h = 5\times\sin(70°)\approx 5\times 0{,}9397\approx 4{,}70$ m.

L'échelle s'appuie à environ 4,70 m de hauteur. Résultat cohérent : inférieur à la longueur de l'échelle.

Exercice 6 Hauteur d'un arbre

★★☆Environ 8 min

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Léa se place à 15 m de son pied, sur un sol plat. Elle vise le sommet sous un angle de 32° par rapport à l'horizontale. On néglige sa taille.

Calcule la hauteur de l'arbre, arrondie au centième de mètre.

Indice 1

Quels côtés du triangle rectangle connais-tu : la distance au sol, la hauteur, ou la ligne de visée ?

Indice 2

Adjacent connu, opposé cherché : quel rapport les relie ?

Voir la correction pas à pas

Le triangle est rectangle au pied de l'arbre. La distance de 15 m est le côté adjacent à l'angle de 32°.
La hauteur $h$ de l'arbre est le côté opposé à cet angle ; la ligne de visée (hypoténuse) n'est pas donnée.
Opposé et adjacent : la tangente convient. $\tan(32°)=\dfrac{h}{15}$ .
D'où $h=15\times\tan(32°)\approx15\times0{,}6249\approx 9{,}37$ m.

L'arbre mesure environ 9,37 m. Choisir la tangente évitait de calculer d'abord la ligne de visée.

Exercice 7 Du sinus au cosinus, puis le cas de 45°

★★★Environ 12 min

Partie A. Un triangle $MNP$ est rectangle en $N$ . L'angle $\widehat{NMP}$ est aigu et vérifie $\sin(\widehat{NMP})=0{,}6$ . On donne $MP=5$ cm (hypoténuse). Sans utiliser la calculatrice, calcule $\cos(\widehat{NMP})$ .

Partie B. Dans un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent 1, calcule la valeur exacte de $\sin(45°)$ , puis donne-la sous forme décimale arrondie au centième.

Indice 1

Partie A : utilise $\sin=\text{opp}/\text{hyp}$ pour trouver le côté opposé, puis le théorème de Pythagore pour l'adjacent.

Indice 2

Partie B : calcule d'abord l'hypoténuse avec Pythagore.

Voir la correction pas à pas

Partie A : $\sin(\widehat{NMP})=\dfrac{NP}{MP}=0{,}6$ , donc $NP=0{,}6\times5=3$ cm (côté opposé).
Le triangle est rectangle en $N$ : $MN^2=MP^2-NP^2=25-9=16$ , donc $MN=4$ cm (côté adjacent).
On calcule $\cos(\widehat{NMP})=\dfrac{MN}{MP}=\dfrac45=0{,}8$ .
Partie B : dans le triangle rectangle isocèle de côtés 1 et 1, l'hypoténuse vaut $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ . Les deux angles aigus mesurent 45° ¹.
Pour l'un d'eux, le côté opposé vaut 1 : $\sin(45°)=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
En décimal : $\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$ .

Partie A : $\cos(\widehat{NMP})=0{,}8$ . Partie B : $\sin(45°)=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0{,}71$ . La valeur finale demandée à l'exercice est celle de la partie B ; les deux parties montrent qu'on peut retrouver une valeur trigonométrique par un simple raisonnement géométrique.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut utiliser sinus, cosinus ou tangente ?

Nomme les trois côtés par rapport à l'angle qui t'intéresse (opposé, adjacent, hypoténuse). Regarde ensuite quels deux côtés interviennent : opposé et hypoténuse → sinus ; adjacent et hypoténuse → cosinus ; opposé et adjacent → tangente. Un moyen simple : barre le côté dont tu n'as pas besoin, il reste le rapport à utiliser.

Pourquoi ma calculatrice donne-t-elle un résultat absurde ?

Dans la grande majorité des cas, elle est en mode radians ou grades au lieu de degrés. Vérifie aussi que tu as bien tapé le rapport entre parenthèses, par exemple $\arctan(5\div12)$ et non $\arctan 5\div12$ . Enfin, un sinus ou un cosinus d'angle aigu supérieur à 1 signale une inversion des deux côtés.

Peut-on utiliser ces rapports dans un triangle qui n'est pas rectangle ?

Pas directement : sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu se définissent avec les côtés d'un triangle rectangle. Si le triangle n'est pas rectangle, on cherche d'abord à le décomposer en triangles rectangles, par exemple en traçant une hauteur, avant d'appliquer la méthode.

Sources

Programme visé : Programme de Mathématiques - Classe de Seconde · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de Mathématiques - Classe de Seconde, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 9 novembre 2026.
Édubase - Apprendre la trigonométrie, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Espace et géométrie - Informer et accompagner les professionnels, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Espace et géométrie - Ressources pédagogiques, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Trigonométrie - IREM Université de Lille, IREM - Institut de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques. Consulté le 9 novembre 2026.
Cours de Trigonométrie - Académie de Lyon, Académie de Lyon. Consulté le 9 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Valeurs remarquables à connaître

Exercices

Les exercices

Exercice 1 Lire un cosinus dans un triangle

Exercice 2 Construire et mesurer à partir de 30°

Exercice 3 Longueur d'un côté adjacent

Exercice 4 Trouver un angle avec la tangente

Exercice 5 L'échelle contre le mur

Exercice 6 Hauteur d'un arbre

Exercice 7 Du sinus au cosinus, puis le cas de 45°

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur