Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un vecteur se représente par une flèche ; il est défini par sa direction, son sens et sa longueur (norme), pas par sa position.4
Deux vecteurs sont égaux quand ils ont même direction, même sens et même norme : AB=DC équivaut à « ABCD est un parallélogramme » (éventuellement aplati).
Relation de Chasles : AB+BC=AC ; la différence u−v est la somme de u et de l'opposé de v.3
Multiplier un vecteur par un réel k change sa norme (facteur ∣k∣) et inverse le sens si k<0 ; deux vecteurs sont colinéaires quand l'un s'obtient en multipliant l'autre par un réel.3
Les vecteurs servent à démontrer des parallélismes et des alignements : on traduit la figure en égalités vectorielles puis on calcule.4
À quoi servent les vecteurs ?
En seconde, tu rencontres les vecteurs comme un nouvel outil de géométrie plane. Le programme les présente comme un moyen d'étudier des problèmes variés et de démontrer des résultats sur des figures.1 Ils permettent aussi de relier géométrie, physique et calcul.1
Tu connais déjà les points, les droites, les longueurs. Il manque un objet pour décrire un déplacement : aller d'un point à un autre, avec une direction, un sens et une distance. C'est exactement ce que fait un vecteur.
Dans ce cours, on se place dans le plan. Tu verras :
ce qu'est un vecteur et quand deux vecteurs sont égaux ;
comment additionner et soustraire des vecteurs ;
comment multiplier un vecteur par un nombre réel ;
ce que veut dire « colinéaires » et comment l'utiliser ;
une méthode pour rédiger une démonstration vectorielle.
Définition d'un vecteur
Ce qui compte, c'est l'information sur le déplacement, pas l'endroit où on dessine la flèche. L'emplacement n'a pas d'importance : on peut faire glisser la flèche dans le plan, parallèlement à elle-même, sans changer le vecteur.4 Deux déplacements qui partent de points différents peuvent donc représenter le même vecteur.4
Par contre, les points ne se déplacent pas : ils restent fixes.4 Quand tu écris AB, les points A et B sont bien précis, mais le vecteur lui-même possède une infinité de représentants. On le nomme souvent par une seule lettre surmontée d'une flèche : u, v.
Égalité de deux vecteurs et parallélogramme
Vecteur nul et vecteur opposé
Somme de deux vecteurs et relation de Chasles
Lis la relation de Chasles comme un trajet : aller de A à B puis de B à C revient à aller directement de A à C. Le point B de « l'étape intermédiaire » disparaît dans le résultat. Tu peux d'ailleurs intercaler n'importe quel point : AC=AM+MC pour tout point M.
Démonstration · Preuve de la règle du parallélogramme
Comme ABCD est un parallélogramme, AD=BC. On remplace dans la somme :
AB+AD=AB+BC.
Par la relation de Chasles, le membre de droite vaut AC. D'où AB+AD=AC.
Tracer ABDessine la flèche du premier vecteur.
Tracer BCRepars de B avec le second vecteur.
Relier A à CLa somme va du départ à l'arrivée.
ConclureAB + BC = AC.
La relation de Chasles pas à pas · Mettre les vecteurs bout à bout.
Différence de deux vecteurs
Démonstration · Preuve
Par Chasles, AB=AO+OB. Or AO=−OA. Donc AB=−OA+OB=OB−OA.
Multiplication d'un vecteur par un réel
Colinéarité : alignement et parallélisme
Méthode générale pour une démonstration vectorielle
TraduireÉcris l'énoncé en égalités de vecteurs.
Choisir une baseDeux vecteurs issus d'un même sommet.
DécomposerUtilise Chasles pour tout exprimer.
RéduireRegroupe et simplifie l'expression.
ConclureColinéarité : parallèles ou alignés.
Méthode de démonstration vectorielle · De l'énoncé à la conclusion.
Erreurs fréquentes à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Simplifier des sommes de vecteurs
★☆☆Environ 8 min
Pour quatre points A, B, C, D, simplifie chaque expression en un seul vecteur :
AB+BD+DC ;
AC−BC ;
AB+CA+BC.
Indice 1
Cherche des vecteurs qui s'enchaînent : l'arrivée de l'un est le départ du suivant.
Indice 2
Remplace une soustraction par l'addition de l'opposé.
Voir la correction pas à pas
Les vecteurs s'enchaînent : AB+BD=AD par Chasles, puis AD+DC=AC. Résultat : AC.
On écrit −BC=CB. Donc AC−BC=AC+CB=AB.
On réordonne : CA+AB+BC. Chasles donne CA+AB=CB, puis CB+BC=CC=0.
Les trois résultats sont AC, AB et 0. Un trajet qui revient à son point de départ donne toujours le vecteur nul.
Exercice 2 Norme d'un multiple de vecteur
★☆☆Environ 5 min
Le vecteur u a pour norme 3 cm. On considère v=−2u. Quelle est la norme de v, en centimètres ? Que peux-tu dire de la direction et du sens de v par rapport à u ?
Indice 1
La norme de ku fait intervenir la valeur absolue de k.
Voir la correction pas à pas
On applique ∥ku∥=∣k∣×∥u∥ avec k=−2.
On calcule ∣−2∣×3=2×3=6 cm.
Comme k<0, v a la même direction que u mais le sens contraire.
La norme de v est 6 cm ; v est colinéaire à u, de sens contraire.
Exercice 3 Parallélisme dans un triangle
★★☆Environ 12 min
Soit un triangle ABC. Le point P est défini par AP=32AB et le point Q par AQ=32AC.
Exprime PQ en fonction de BC.
Que peux-tu en conclure pour les droites (PQ) et (BC) ?
Indice 1
Décompose PQ avec le point A : PQ=PA+AQ.
Indice 2
Utilise AC−AB=BC.
Voir la correction pas à pas
Par Chasles, PQ=PA+AQ.
Comme PA=−AP=−32AB, on obtient PQ=−32AB+32AC.
On factorise : PQ=32(AC−AB).
Or AC−AB=AC+BA=BC, donc PQ=32BC.
Les vecteurs PQ et BC sont colinéaires, donc (PQ) et (BC) sont parallèles.
On a PQ=32BC : les droites (PQ) et (BC) sont parallèles, et PQ=32BC.
Exercice 4 Alignement de trois points
★★★Environ 15 min
Soit ABCD un parallélogramme. On définit E par AE=AB+21AD et F par AF=2AB+AD. Démontre que A, E, F sont alignés.
Indice 1
Cherche un réel k tel que AF=kAE.
Indice 2
Compare les coefficients de AB et de AD.
Voir la correction pas à pas
On exprime AF à partir de AE : 2AE=2AB+AD.
Cette expression est exactement celle de AF : AF=2AE.
Les vecteurs AE et AF sont colinéaires et ont le point A en commun.
Donc A, E, F sont alignés.
Comme AF=2AE, le point E est le milieu de [AF], ce qui confirme l'alignement.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme ; sa position ne compte pas, car on peut le faire glisser parallèlement à lui-même.4 La réponse « point de départ et norme » est tentante, mais elle fixerait la place de la flèche et oublierait la direction.
Les côtés opposés [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens, donc AB=DC. L'égalité avec CD est fausse car ce vecteur est l'opposé de DC ; les deux autres relient des côtés consécutifs, de directions différentes.
C'est la relation de Chasles : aller de A à B puis de B à C revient à aller de A à C.3CA est le vecteur opposé, de sens contraire ; le produit de deux vecteurs n'est pas défini par cette opération.
Les deux vecteurs ont la même direction et la même norme mais des sens contraires, donc BA=−AB. Les croire égaux est une erreur fréquente, qui ignore le sens.
C'est faux en général : dans un triangle, un côté est plus court que la somme des deux autres. L'égalité n'a lieu que si les vecteurs ont même direction et même sens.
On applique ∥ku∥=∣k∣×∥u∥=3×5=15. La réponse −15 est impossible : une norme est toujours positive ou nulle, le signe de k ne joue que sur le sens.
Les vecteurs AC et AB sont colinéaires et partent du même point A, donc les trois points sont alignés ; le coefficient positif donne le même sens. Le milieu correspondrait à un coefficient 21, et la colinéarité ne dit rien sur la perpendicularité.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre un vecteur et un segment ?
Un segment [AB] est fixé à un endroit précis du plan. Un vecteur AB décrit un déplacement : il a une direction, un sens et une norme, et on peut le faire glisser parallèlement à lui-même sans le changer.4 Deux flèches placées à des endroits différents peuvent donc représenter le même vecteur.
Pourquoi le vecteur n'a-t-il pas de position ?
Parce que seule compte l'information du déplacement : même direction, même sens, même longueur.4 Cela rend les calculs plus simples : on peut déplacer une flèche pour la mettre bout à bout avec une autre, ce qui est exactement ce qu'on fait pour additionner.
Comment savoir si je dois utiliser Chasles ?
Dès que tu vois une somme ou une différence de vecteurs, cherche si l'arrivée de l'un est le départ de l'autre. Si ce n'est pas le cas, transforme avec les opposés (−CB=BC) ou intercale un point commode. Chasles sert à décomposer un vecteur en passant par un point de ton choix.
Comment démontrer que deux droites sont parallèles avec des vecteurs ?
Choisis un vecteur directeur sur chaque droite, par exemple AB et CD, puis montre qu'il existe un réel k tel que CD=kAB. Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles (ou confondues). Les vecteurs sont justement un outil efficace pour démontrer des parallélismes.4
Que faire si l'énoncé ne donne pas de figure ?
Fais un schéma à main levée, place les points avec leurs relations vectorielles, puis choisis deux vecteurs de base partant d'un même sommet. Ce dessin t'évite les inversions de sens, comme confondre DC et CD.