Vecteurs du plan : exercices corrigés de 2de

On dessine le parallélogramme en nommant les sommets dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$. Les côtés $[AB]$ et $[DC]$ sont opposés, donc parallèles et de même longueur.

En allant de $A$ vers $B$ puis de $D$ vers $C$, on part dans le même sens. Les deux flèches ont donc même direction, même sens et même longueur : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

De la même façon, $[AD]$ et $[BC]$ sont opposés, et on les parcourt dans le même sens : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Pour la question 2, $\overrightarrow{CD}$ va de $C$ vers $D$ alors que $\overrightarrow{AB}$ va de $A$ vers $B$. Les sens sont opposés : les deux vecteurs ne sont pas égaux, on a $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$.

Pour la question 3, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ a donc la même longueur que $\overrightarrow{AB}$ : la longueur de $\overrightarrow{DC}$ vaut 7 cm.

On change l'ordre des termes : $\vec{w}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$.

On regroupe les deux premiers termes. La relation de Chasles ³ donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

On obtient $\vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$. On regroupe encore : $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

Il reste $\vec{w}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$. Ce sont deux vecteurs opposés : en partant de $A$ pour aller en $D$ puis revenir en $A$, on est revenu au point de départ.

Donc $\vec{w}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ : la somme est le vecteur nul.

On complète la flèche en un triangle rectangle : un côté horizontal de 3 cm, un côté vertical de 4 cm, et la flèche comme hypoténuse.

On applique le théorème de Pythagore : $\|\vec{u}\|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

On prend la racine carrée, la longueur étant positive : $\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5$ cm.

On place un point $O$ et on trace $\vec{u}$ depuis $O$ jusqu'à un point $P$, avec $OP = 3$ cm sur une droite.

Cas 1 : on trace $\vec{v}$ depuis $P$ dans le même sens, jusqu'à $Q$. On avance de 3 cm puis de 5 cm sur la même droite : $OQ = 3 + 5 = 8$ cm. Donc $\|\vec{u}+\vec{v}\| = 8$ cm.

Cas 2 : on trace $\vec{v}$ depuis $P$ dans le sens contraire, jusqu'à $Q'$. On avance de 3 cm puis on recule de 5 cm : on dépasse $O$ et on finit à 2 cm de $O$, du côté opposé à $P$.

On calcule donc $\|\vec{u}+\vec{v}\| = |3 - 5| = 2$ cm. La somme est dans ce cas orientée dans le sens de $\vec{v}$, le plus long des deux.

Le vecteur $2\vec{u}$ s'obtient en mettant $\vec{u}$ bout à bout avec lui-même : même direction, même sens, longueur doublée.

Le vecteur $-2\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, mais le sens opposé, et la même longueur que $2\vec{u}$.

On calcule la norme : $\|-2\vec{u}\| = 2 \times 3{,}5 = 7$ cm. Le signe moins ne change que le sens, jamais la longueur.

Les vecteurs $2\vec{u}$ et $-2\vec{u}$ ont même longueur, même direction, des sens opposés : en les mettant bout à bout, on revient au point de départ. Leur somme est le vecteur nul $\vec{0}$.

Les points $A$, $I$ et $B$ sont alignés sur une même droite : $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ ont donc la même direction.

Ils sont tous deux orientés de $A$ vers $B$ : même sens.

Comme $I$ est le milieu, $AI = IB$ : même longueur. Les trois critères sont vérifiés, donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}$. On remplace $\overrightarrow{IB}$ par $\overrightarrow{AI}$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AI}$.

La longueur de $\overrightarrow{AI}$ est celle de $[AI]$, soit la moitié de $AB$ : $\dfrac{9}{2}=4{,}5$ cm.

On place $O$ sur un nœud, puis on trace $\vec{u}$ : on arrive en un point $P$, 3 carreaux à droite et 1 carreau plus haut que $O$.

On trace ensuite le représentant de $\vec{v}$ qui part de $P$ : on arrive en un point $Q$, 1 carreau à droite et 3 carreaux plus haut que $P$.

Le vecteur $\overrightarrow{OQ}$ représente $\vec{u}+\vec{v}$ : il va de l'origine du premier à l'extrémité du second ¹.

Son déplacement horizontal vaut $3+1=4$ carreaux, son déplacement vertical vaut $1+3=4$ carreaux.

On applique Pythagore dans le triangle rectangle correspondant : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=4^2+4^2=32$.

Donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{32}\approx 5{,}657$ cm. On remarque que ce nombre est inférieur à $\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|=2\sqrt{10}\approx 6{,}325$ cm : les deux vecteurs n'ont pas la même direction.

Par la relation de Chasles ³, on peut écrire $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

L'hypothèse donne aussi $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. On a donc $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

On retire $\overrightarrow{AB}$ des deux côtés de l'égalité : $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.

Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur : les segments $[BC]$ et $[AD]$ sont parallèles, de même longueur, et orientés dans le même sens.

Comme $A$, $B$ et $D$ ne sont pas alignés, le quadrilatère n'est pas aplati. Il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, orientés de la même façon : $ABCD$ est un parallélogramme.

Pour un parallélogramme $ABCD$, on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

On décompose avec le point $O$ (relation de Chasles ³) : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$.

L'égalité du 1 devient $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}$.

Comme $O$ est le milieu de $[AC]$, on a $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$. On simplifie ces deux vecteurs égaux : $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$.

On remplace $\overrightarrow{DO}$ par son opposé : $\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OD}$. On obtient $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, soit $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OD}$ sont opposés : $O$ est aussi le milieu de $[BD]$. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent donc en leur milieu.