Évolutions et taux d'évolution : cours de 2de

Un prix passe de 80 € à 92 €. Une population gagne 3 000 habitants. Un salaire baisse de 50 €. Ces écarts bruts ne disent pas grand-chose tant qu'on ne les rapporte pas à la taille de départ : 3 000 habitants de plus, c'est énorme pour un village de 5 000 personnes, presque invisible pour une métropole de plusieurs millions.

Le taux d'évolution répond à ce besoin. Il permet de mesurer l'évolution d'une grandeur numérique entre deux dates. ⁵ On l'utilise dans des contextes très variés : démographie, économie, finance, prix en magasin. ⁴

Dans ce cours, tu vas apprendre à :

• calculer un taux d'évolution à partir de deux valeurs ;
• passer du taux au coefficient multiplicateur, et inversement ;
• retrouver une valeur de départ ou d'arrivée ;
• enchaîner plusieurs évolutions (deux remises successives, par exemple) ;
• calculer l'évolution qui annule une première évolution ;
• reconnaître quand une somme de pourcentages donne une approximation correcte.

Le numérateur $V_A-V_D$ est la variation absolue (l'écart brut). On la divise par $V_D$ pour obtenir la variation relative. C'est exactement l'idée d'un taux de réduction lors de soldes : l'écart relatif entre le prix initial et le prix soldé. ⁴

Le signe de $t$ donne le sens de l'évolution :

• $t>0$ : la grandeur augmente (hausse) ; on écrit alors souvent le signe « + » devant le pourcentage. ⁵
• $t<0$ : la grandeur diminue (baisse) ; le signe « − » suffit, il n'y a pas de confusion possible. ⁵
• $t=0$ : la grandeur ne change pas.

Cela se vérifie : passer de $2$ m à $2{,}5$ m donne $t=\dfrac{0{,}5}{2}=25\,\%$ ; passer de $200$ cm à $250$ cm donne $t=\dfrac{50}{200}=25\,\%$. Le rapport $\dfrac{V_A-V_D}{V_D}$ est le même, car l'unité se simplifie. Cette propriété permet de comparer des évolutions de grandeurs très différentes : une hausse de loyer et une hausse de population se mesurent avec le même outil.

Le taux d'évolution permet de calculer le coefficient multiplicateur. ⁵ Ce coefficient est ce qu'il faut multiplier par la valeur de départ pour obtenir la valeur d'arrivée. Il fait le lien entre le taux et la multiplication : par exemple, augmenter de $5\,\%$ revient à multiplier par un nombre précis. ⁴

Lis ce tableau comme un dictionnaire de traduction.

• Hausse de $t\,\%$ : $C=1+\dfrac{t}{100}$. Exemple : $+12\,\%$ donne $C=1{,}12$.
• Baisse de $t\,\%$ : $C=1-\dfrac{t}{100}$. Exemple : $-30\,\%$ donne $C=0{,}70$.

On reconnaît immédiatement le sens d'une évolution : $C>1$ pour une hausse, $C<1$ pour une baisse, $C=1$ si rien ne change.

La relation $V_A=C\times V_D$ contient trois nombres. Si tu en connais deux, tu retrouves le troisième.

Un commerçant applique deux remises l'une après l'autre ; une population augmente deux années de suite. Calculer l'effet global de deux évolutions successives est une compétence classique du niveau seconde. ⁴

Après une hausse, de combien faut-il baisser pour retrouver la valeur de départ ? Le taux d'évolution réciproque répond à cette question. Il se calcule avec la même formule, en intervertissant les deux valeurs : la valeur d'arrivée devient le point de départ, et inversement. ⁵

Quand les taux sont faibles, entre $-2\,\%$ et $+2\,\%$, on peut les additionner pour obtenir un ordre de grandeur. ⁵ Concrètement :

• le taux global de deux évolutions faibles successives est proche de la somme des deux taux ; ⁵
• le taux réciproque est proche de l'opposé du taux direct. ⁵

Au lycée, on automatise aussi ces calculs avec un tableur. ⁴ Si la valeur de départ est en cellule A2 et la valeur d'arrivée en B2, la formule =(B2-A2)/A2 calcule le taux ; on met la cellule au format pourcentage pour l'afficher en $\%$. En recopiant la formule vers le bas, on obtient les taux de toute une colonne de données.