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Racines n-ièmes de l'unité : cours de Terminale (maths expertes)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une racine n-ième de l'unité est un complexe $z$ tel que $z^n=1$ ; il y en a exactement $n$ , notées $\omega^k = e^{2ik\pi/n}$ avec $k$ de $0$ à $n-1$ .
Dans le plan complexe, elles sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point d'affixe $1$ .
Pour $n\geqslant 2$ , leur somme vaut $0$ (somme de termes d'une suite géométrique de raison $\omega\neq 1$ ).
Une racine est primitive si $n$ est le plus petit exposant strictement positif qui donne $1$ ; $\omega^m$ l'est exactement quand $m$ et $n$ sont premiers entre eux.
Les racines $n$ -ièmes d'un complexe non nul $a$ s'obtiennent en multipliant l'une d'elles par toutes les racines $n$ -ièmes de l'unité.

Introduction : de quoi parle-t-on ?

Tu sais déjà résoudre $z^2=1$ : les solutions sont $1$ et $-1$ . Tu sais aussi que, dans les complexes, l'équation $z^2=-1$ a deux solutions, $i$ et $-i$ . Ce chapitre pousse l'idée plus loin : que valent les solutions de $z^3=1$ , de $z^4=1$ , de $z^{12}=1$ ?

La réponse est élégante. Ces solutions se rangent sur un cercle et dessinent des polygones réguliers. Ce sont les racines de l'unité. Elles servent à résoudre des équations du type $z^n=a$ , à décrire des rotations et à calculer des sommes, en réutilisant directement la forme exponentielle et la formule de Moivre que tu connais déjà.

Pour suivre ce cours, tu as besoin d'outils déjà vus : le module et l'argument d'un complexe, la forme trigonométrique $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , la forme exponentielle $re^{i\theta}$ , et le lien entre nombres complexes et géométrie (affixe d'un point, rotation). Si l'un d'eux est flou, revois-le d'abord : tout le chapitre repose dessus.

Définition et premiers exemples

Autrement dit, les racines $n$ -ièmes de l'unité sont les solutions complexes de l'équation $z^n=1$ . ² C'est un cas particulier de la notion plus générale de racine $n$ -ième d'un nombre $a$ : un nombre $b$ tel que $b^n=a$ . ³ Ici, on prend simplement $a=1$ .

Déterminer toutes les racines : la formule

Comment être sûr de les avoir toutes trouvées ? On passe par la forme exponentielle. C'est la méthode la plus directe, et elle donne à la fois la formule et le nombre de solutions.

Démonstration · Pourquoi cette formule

Soit $z$ une solution. Comme $z^n=1$ , la solution n'est pas nulle ; écrivons $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ . Alors $z^n=r^ne^{in\theta}$ .

Module : $r^n=|z^n|=|1|=1$ . Comme $r$ est un réel positif, $r=1$ .
Argument : $e^{in\theta}=1$ équivaut à $n\theta=2k\pi$ avec $k$ entier, donc $\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$ .

Réciproquement, $\left(e^{2ik\pi/n}\right)^n=e^{2ik\pi}=1$ , donc ces nombres conviennent.

Reste à compter. Les valeurs $k$ et $k+n$ donnent le même nombre, puisque $e^{2i(k+n)\pi/n}=e^{2ik\pi/n}\times e^{2i\pi}=e^{2ik\pi/n}$ . Il suffit donc de prendre $k$ de $0$ à $n-1$ . Ces $n$ nombres sont distincts, car leurs arguments $0,\frac{2\pi}{n},\dots,\frac{2(n-1)\pi}{n}$ sont tous différents dans $[0\,;2\pi[$ . Il n'y a pas plus de $n$ solutions : un polynôme de degré $n$ ne peut pas en avoir davantage. On retrouve ainsi les $n$ solutions annoncées.

Ce résultat est cohérent avec un fait plus général : lorsqu'un complexe $a$ est non nul, il possède $n$ racines $n$ -ièmes distinctes, car ce sont les solutions de l'équation $X^n-a=0$ , qui admet $n$ solutions complexes d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. ³

Exemples détaillés : n = 3, 4 et 6

Les racines de l'unité pour n = 3, 4 et 6
n	Racines (forme exponentielle)	Polygone
3	e^(2ikπ/3), k = 0, 1, 2	Triangle équilatéral
4	e^(ikπ/2), k = 0 à 3 : 1, i, -1, -i	Carré
6	e^(ikπ/3), k = 0 à 5	Hexagone régulier

Les racines de l'unité pour n = 3, 4 et 6 · Pour chaque n, les racines sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.

Représentation géométrique : le polygone régulier

Cette propriété se lit directement sur la formule. Tous les points $M_k$ d'affixe $\omega^k$ sont à la distance $|\omega^k|=1$ de l'origine : ils sont sur le cercle unité. Passer d'un point au suivant, c'est multiplier par $\omega$ , c'est-à-dire appliquer la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{2\pi}{n}$ . Les points sont donc régulièrement espacés sur le cercle, ce qui donne un polygone régulier.

Propriétés calculatoires : produit, puissances, inverse

Démonstration · Vérification directe

Si $z^n=1$ et $w^n=1$ , alors $(zw)^n=z^nw^n=1\times 1=1$ . Et $\left(\dfrac1z\right)^n=\dfrac1{z^n}=1$ . Pour l'inverse d'une racine, on peut aussi dire que, comme $|z|=1$ , on a $\dfrac1z=\overline z$ .

La somme des racines n-ièmes de l'unité

Démonstration · Preuve par la suite géométrique

La preuve la plus rapide utilise la formule de somme d'une suite géométrique. ² Ici, la raison est $\omega=e^{2i\pi/n}$ . Comme $n\geqslant2$ , on a $\omega\neq1$ , donc

$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}=\frac{1-1}{1-\omega}=0.$

La condition $n\geqslant 2$ est indispensable : pour $n=1$ , la seule racine est $1$ et la somme vaut $1$ .

Racines primitives

Prenons $n=4$ . Le nombre $i$ est primitif : $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ sont différents de $1$ , et seule $i^4$ vaut $1$ . En revanche, $-1$ est bien une racine quatrième de l'unité, mais $(-1)^2=1$ : son ordre est $2$ , il n'est pas primitif. Et $1$ a pour ordre $1$ .

Racines n-ièmes d'un complexe quelconque

Les racines de l'unité permettent de résoudre toute équation $z^n=a$ avec $a$ non nul. Une racine $n$ -ième de $a$ est un nombre $b$ tel que $b^n=a$ . ³ Il en existe $n$ distinctes quand $a\neq0$ . ³

Démonstration · Pourquoi

Si $z^n=a$ et $z_0^n=a$ , alors $\left(\dfrac{z}{z_0}\right)^n=\dfrac{a}{a}=1$ : le quotient $\dfrac{z}{z_0}$ est une racine $n$ -ième de l'unité, donc de la forme $\omega^k$ . Réciproquement, $(z_0\omega^k)^n=z_0^n\,(\omega^n)^k=a$ .

Forme exponentielleÉcrire a = ρe^(iα) avec ρ > 0.
Solution particulièrePrendre z0 = ρ^(1/n) e^(iα/n).
Multiplier par ω^kLes autres solutions sont z0 ω^k, k de 0 à n-1.
VérifierOn doit obtenir n solutions distinctes.

Résoudre z^n = a · Méthode pour trouver toutes les racines n-ièmes d'un complexe non nul.

Erreurs fréquentes et conseils de rédaction

Exercices corrigés

Exercice 1 Racines huitièmes primitives

★☆☆Environ 5 min

On considère les racines huitièmes de l'unité.

Écris-les toutes sous forme exponentielle.
Quelles sont les racines primitives ? Combien y en a-t-il ?

Indice 1

Une puissance $\omega^m$ est primitive si $m$ est premier avec $8$ .

Indice 2

Parmi $0,1,\dots,7$ , cherche les entiers sans diviseur commun avec $8$ .

Voir la correction pas à pas

Posons $\omega=e^{2i\pi/8}=e^{i\pi/4}$ . Les racines huitièmes de l'unité sont $\omega^k=e^{ik\pi/4}$ pour $k$ de $0$ à $7$ .
Une racine $\omega^m$ est primitive si et seulement si $m$ et $8$ sont premiers entre eux. Comme $8=2^3$ , il s'agit des entiers impairs.
Les entiers de $0$ à $7$ premiers avec $8$ sont $1$ , $3$ , $5$ et $7$ .
Les racines primitives sont donc $e^{i\pi/4}$ , $e^{3i\pi/4}$ , $e^{5i\pi/4}$ et $e^{7i\pi/4}$ . On en compte $4$ , ce qui correspond à $\varphi(8)=4$ .

Il y a quatre racines primitives huitièmes de l'unité : ce sont celles dont l'exposant est impair. Les autres ( $1$ , $i$ , $-1$ , $-i$ ) sont d'ordre plus petit : ce sont des racines quatrièmes.

Exercice 2 Équation z³ = 1 et triangle équilatéral

★★☆Environ 10 min

Résous dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=1$ et donne les solutions sous forme algébrique.
Place les trois points correspondants dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle obtenu ?
Calcule la longueur du côté de ce triangle, puis son aire.

Indice 1

Pose $z=re^{i\theta}$ et traite module puis argument.

Indice 2

Le côté relie $1$ et $j=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$ : calcule $|j-1|$ .

Indice 3

Aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ : $\dfrac{\sqrt3}{4}c^2$ .

Voir la correction pas à pas

Les solutions de $z^3=1$ sont $1$ , $j=e^{2i\pi/3}=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$ et $j^2=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$ .
Les trois points sont sur le cercle unité, séparés par un angle de $\frac{2\pi}{3}$ : le triangle est équilatéral.
Longueur du côté : $|j-1|=\left|-\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}\right|=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3$ .
Aire : $\dfrac{\sqrt3}{4}\times(\sqrt3)^2=\dfrac{3\sqrt3}{4}\approx1{,}299$ .

Les racines cubiques de l'unité forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité, de côté $\sqrt3$ et d'aire $\frac{3\sqrt3}{4}$ .

Exercice 3 Résoudre z⁴ = −16

★★★Environ 12 min

Écris $-16$ sous forme exponentielle.
Détermine les solutions de $z^4=-16$ sous forme exponentielle, puis algébrique.
Ces quatre points forment un carré. Calcule son aire, sachant que la diagonale a pour longueur le double du module d'une solution.

Indice 1

Trouve d'abord une solution particulière en prenant la racine quatrième du module et le quart de l'argument.

Indice 2

Pour l'aire d'un carré de diagonale $d$ , utilise $\dfrac{d^2}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

On a $-16=16\,e^{i\pi}$ .
Une solution particulière est $z_0=16^{1/4}e^{i\pi/4}=2e^{i\pi/4}=\sqrt2(1+i)$ .
Les autres solutions s'obtiennent en multipliant par $i^k$ (racines quatrièmes de l'unité) : $\sqrt2(-1+i)$ , $\sqrt2(-1-i)$ , $\sqrt2(1-i)$ .
Les points sont sur le cercle de rayon $2$ ; la diagonale du carré est un diamètre : $d=4$ .
Aire $=\dfrac{d^2}{2}=\dfrac{16}{2}=8$ .

Les quatre solutions sont $\sqrt2(\pm1\pm i)$ ; elles forment un carré d'aire $8$ , obtenu à partir du carré des racines quatrièmes de l'unité par une homothétie de rapport $2$ et une rotation de $\frac{\pi}{4}$ .

Les questions qu'on se pose

Pourquoi les racines n-ièmes de l'unité sont-elles toujours de module 1 ?

Si $z^n=1$ , alors $|z|^n=|z^n|=1$ . Un réel positif dont la puissance $n$ -ième vaut $1$ est égal à $1$ . Toutes ces racines sont donc situées sur le cercle unité, ce qui explique leur disposition en polygone régulier. ²

À quoi servent les racines de l'unité ?

Elles permettent de résoudre $z^n=a$ (on en trouve une, puis on multiplie par toutes les racines de l'unité), de décrire des polygones réguliers dans le plan complexe, et de calculer des sommes grâce à la relation $1+\omega+\dots+\omega^{n-1}=0$ . ² Leur étude s'appuie sur la forme exponentielle et la formule de Moivre, vues juste avant.

Comment savoir si une racine est primitive ?

Écris-la $\omega^m$ avec $\omega=e^{2i\pi/n}$ et $0\leqslant m<n$ . Elle est primitive si et seulement si $m$ et $n$ sont premiers entre eux. ¹ Pour $n=6$ , seuls $m=1$ et $m=5$ conviennent.

Y a-t-il toujours une racine n-ième de l'unité égale à -1 ?

Non. On a $(-1)^n=1$ seulement si $n$ est pair. Pour $n=3$ par exemple, $(-1)^3=-1\neq1$ , donc $-1$ n'est pas une racine cubique de l'unité. Les seules racines réelles sont $1$ , et $-1$ quand $n$ est pair.

Que faire si l'énoncé donne z^n = a avec a différent de 1 ?

Écris $a$ sous forme exponentielle $\rho e^{i\alpha}$ , trouve une solution particulière $\rho^{1/n}e^{i\alpha/n}$ , puis multiplie-la par les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité. On obtient $n$ solutions distinctes lorsque $a\neq0$ . ³

Sources

Ressources académiques - IREM Université de Lorraine, IREM. Consulté le 6 novembre 2026.
Racine de l'unité, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Racine d'un nombre, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Racines n-ièmes de l'unité : cours de Terminale (maths expertes)

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Exemples détaillés : n = 3, 4 et 6

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