Racines n-ièmes de l'unité : exercices corrigés de Terminale

Forme algébrique : $j=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Puissance : $j^3=e^{2i\pi}=1$. Donc $j$ est une racine 3-ième de l'unité, au sens de la définition $z^n=1$ ².

Conjugué : $j^2=e^{4i\pi/3}=e^{-2i\pi/3}$, car $e^{4i\pi/3}=e^{2i\pi}\times e^{-2i\pi/3}$. Or $\overline{j}=e^{-2i\pi/3}$, donc $j^2=\overline{j}$.

Somme : comme $j\neq 1$, on a $1+j+j^2=\dfrac{1-j^3}{1-j}=\dfrac{1-1}{1-j}=0$. Cela illustre le fait que la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle dès que $n\geq 2$ ².

Forme exponentielle : $z_k=e^{2ik\pi/6}=e^{ik\pi/3}$ pour $k=0,1,2,3,4,5$.

Forme algébrique : $1$ ; $\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $-1$ ; $-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}$ ; $\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Nature du polygone : ces points sont les sommets d'un polygone régulier à 6 côtés inscrit dans le cercle unité, dont l'un des sommets est $1$ ². C'est un hexagone régulier.

Côté : $e^{i\pi/3}-1=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$. Son module vaut $\sqrt{\dfrac14+\dfrac34}=1$.

Les racines sont $e^{ik\pi/4}$ pour $k=0,\dots,7$.

Critère : les racines primitives sont les $e^{2ik\pi/n}$ avec $k$ et $n$ premiers entre eux ².

Comme $8=2^3$, un entier est premier avec $8$ si et seulement s'il est impair. On garde $k=1,3,5,7$, soit $e^{i\pi/4}$, $e^{3i\pi/4}$, $e^{5i\pi/4}$, $e^{7i\pi/4}$.

Dénombrement : on en compte $4$, ce qui est bien $\varphi(8)$ ².

Factorisation : $2$ est une racine cubique réelle de $8$. En posant $z=2u$, l'équation devient $8u^3=8$, c'est-à-dire $u^3=1$.

Résolution : $u\in\{1,\ e^{2i\pi/3},\ e^{-2i\pi/3}\}$, donc $z\in\{2,\ 2e^{2i\pi/3},\ 2e^{-2i\pi/3}\}$.

Forme algébrique : $2$ ; $-1+i\sqrt3$ ; $-1-i\sqrt3$.

Module : les trois solutions ont pour module $2$, puisque les racines de l'unité sont de module $1$ ².

Nombre de solutions : $3$. C'est cohérent avec le fait qu'un complexe non nul admet $n$ racines n-ièmes distinctes ; ici $n=3$ ³.

Forme exponentielle : $-16=16e^{i\pi}$.

Module : avec $z=re^{i\theta}$, on a $r^4=16$ et $r>0$, donc $r=2$.

Argument : $4\theta=\pi+2k\pi$, donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$. Les valeurs $k=0,1,2,3$ donnent quatre solutions distinctes, et les suivantes redonnent les mêmes points : on retrouve les $n=4$ racines attendues ³.

Forme algébrique : $2e^{i\pi/4}=\sqrt2+i\sqrt2$ ; $2e^{3i\pi/4}=-\sqrt2+i\sqrt2$ ; $2e^{5i\pi/4}=-\sqrt2-i\sqrt2$ ; $2e^{7i\pi/4}=\sqrt2-i\sqrt2$.

Figure : ces quatre points sont les sommets d'un carré centré en $O$, de rayon $2$.

Les nombres $\omega^k$, pour $k=0,\dots,4$, sont les racines 5-ièmes de l'unité. Comme $5\geq 2$, leur somme est nulle ². On peut aussi le vérifier directement : $\omega\neq 1$ donc la somme vaut $\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0$.

Partie réelle : $1+\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}+\cos\dfrac{6\pi}{5}+\cos\dfrac{8\pi}{5}=0$.

Symétrie : $\cos\dfrac{6\pi}{5}=\cos\dfrac{4\pi}{5}$ et $\cos\dfrac{8\pi}{5}=\cos\dfrac{2\pi}{5}$, car le cosinus est pair et $2\pi$-périodique.

On obtient donc $1+2\left(\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}\right)=0$, d'où $\cos\dfrac{2\pi}{5}+\cos\dfrac{4\pi}{5}=-\dfrac12$.

Vérification : $z^{12}=\omega^{96}=(\omega^{12})^8=1^8=1$. Donc $z$ est bien une racine 12-ième de l'unité ².

Ordre : $z=\omega^8=e^{2i\pi\times 8/12}=e^{4i\pi/3}$. On cherche le plus petit $m\geq 1$ avec $8m$ multiple de $12$. Comme $8m\equiv 0 \pmod{12}$ revient à $2m\equiv 0 \pmod 3$, donc à $3\mid m$, le plus petit est $m=3$. On retrouve $12/\operatorname{pgcd}(8,12)=12/4=3$.

Conclusion : $z^3=1$, avec $3<12$. Donc $z$ n'est pas primitive en tant que racine 12-ième : c'est une racine primitive 3-ième de l'unité, car son ordre est exactement $3$ ².

Racines primitives 12-ièmes : on cherche $k$ premier avec $12$ entre $0$ et $11$ ². Les entiers $1, 5, 7, 11$ conviennent, les autres ont un diviseur commun avec $12$ (2, 3 ou 4).

Dénombrement : cela fait $4$ valeurs, soit $\varphi(12)=4$ ².

Changement d'inconnue : avec $Z=z-1$, l'équation devient $Z^3=1$. Ses solutions sont les racines cubiques de l'unité : $1$, $j$, $j^2$ ².

Retour à $z$ : $z=Z+1$, donc les solutions sont $2$, $1+j$ et $1+j^2$.

Simplification : comme $1+j+j^2=0$, on a $1+j=-j^2=e^{i\pi}\times e^{4i\pi/3}=e^{7i\pi/3}=e^{i\pi/3}$. De même $1+j^2=-j=e^{i\pi}\times e^{2i\pi/3}=e^{5i\pi/3}=e^{-i\pi/3}$.

Figure : les trois points sont $A(2)$, $B(e^{i\pi/3})$ et $C(e^{-i\pi/3})$. Ils se déduisent des sommets du triangle équilatéral de sommets $1$, $j$, $j^2$ par la translation de vecteur d'affixe $1$ ; le triangle est donc équilatéral, centré au point d'affixe $1$ ².

Vérification : $|B-A|=\left|e^{i\pi/3}-2\right|=\sqrt{\left(\tfrac12-2\right)^2+\tfrac34}=\sqrt3$, et $|B-C|=\sqrt3$ aussi.

Les racines n-ièmes de l'unité sont $1,\omega,\dots,\omega^{n-1}$ ². Comme $n\geq 2$, $\omega\neq 1$ : son argument est $\dfrac{2\pi}{n}\in\,]0\,;2\pi[$.

Formule de la somme géométrique : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=\dfrac{1-1}{1-\omega}=0$. Cela redonne le résultat connu ².

Pour $p$ non multiple de $n$ : $\omega^p=e^{2ip\pi/n}$ vaut $1$ si et seulement si $\dfrac{p}{n}$ est entier, ce qui est exclu. Donc $\omega^p\neq 1$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(\omega^p)^k=\dfrac{1-\omega^{pn}}{1-\omega^p}=\dfrac{1-1}{1-\omega^p}=0$.

Pour $p$ multiple de $n$ : $\omega^p=1$, donc chaque terme vaut $1$ et la somme vaut $n$.