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Racines n-ièmes de l'unité : fiche de Terminale (expertes) Cours Fiche Exercices Quiz Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel Une racine n-ième de l'unité est un complexe z z z z n = 1 z^n=1 z n = 1 n n n 2 Elles s'écrivent e 2 i k π / n e^{2ik\pi/n} e 2 ik π / n k k k 0 0 0 n − 1 n-1 n − 1 exactement n n n , toutes de module 1. Dans le plan complexe, leurs images sont les sommets d'un polygone régulier à n n n , tracé dans le cercle unité, avec un sommet en 1 1 1 2 Pour n ⩾ 2 n\geqslant 2 n ⩾ 2 somme est nulle 2 Une racine est primitive si n n n m m m z m = 1 z^m=1 z m = 1 2 Au programme · 4 parties Définition et écriture des racines Interprétation géométrique Somme et racines primitives Méthode : résoudre z^n = 1 ou z^n = a Quiz Questions fréquentes Définition et écriture des racines Définition Racine n-ième de l'unité
Soit n n n racine n-ième de l'unité est un nombre complexe z z z z n = 1 z^n=1 z n = 1 2 a a a b b b b n = a b^n=a b n = a 3 a = 1 a=1 a = 1
À retenir La formule à connaître
Les n n n
ω k = e 2 i k π n , k ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } . \omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}},\qquad k\in\{0,1,\dots,n-1\}. ω k = e n 2 ik π , k ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } .
Elles sont toutes distinctes : un complexe non nul admet exactement n n n 3 1 1 1 2 k π n \frac{2k\pi}{n} n 2 k π
Exemple Le cas n = 4
Pour k = 0 , 1 , 2 , 3 k=0,1,2,3 k = 0 , 1 , 2 , 3 e 0 = 1 e^{0}=1 e 0 = 1 e i π / 2 = i e^{i\pi/2}=i e iπ /2 = i e i π = − 1 e^{i\pi}=-1 e iπ = − 1 e 3 i π / 2 = − i e^{3i\pi/2}=-i e 3 iπ /2 = − i i 4 = ( i 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1 i 4 = ( i 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 1 1 1 i i i − 1 -1 − 1 − i -i − i
Attention, erreur fréquente Piège fréquent
Dans R \mathbb{R} R x n = 1 x^n=1 x n = 1 1 1 1 − 1 -1 − 1 n n n C \mathbb{C} C n n n 1 1 1 ± 1 \pm1 ± 1
Interprétation géométrique Propriété Un polygone régulier
Dans le plan complexe, les images des racines n-ièmes de l'unité sont toutes à la distance 1 1 1 O O O 2 n n n 1 1 1 2
Méthode Placer les racines
Trace le cercle unité et place le point d'affixe 1 1 1
Calcule l'angle entre deux sommets consécutifs : 2 π n \frac{2\pi}{n} n 2 π
Place les points en tournant dans le sens direct à partir de 1 1 1
Pour n = 6 n=6 n = 6 π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 1 1 1 e i π / 3 e^{i\pi/3} e iπ /3 e 2 i π / 3 e^{2i\pi/3} e 2 iπ /3 − 1 -1 − 1 e 4 i π / 3 e^{4i\pi/3} e 4 iπ /3 e 5 i π / 3 e^{5i\pi/3} e 5 iπ /3
Remarque Lien avec la multiplication
Multiplier par ω 1 = e 2 i π / n \omega_1=e^{2i\pi/n} ω 1 = e 2 iπ / n 2 π n \frac{2\pi}{n} n 2 π O O O ω 1 k \omega_1^k ω 1 k e 2 i k π / n = ( e 2 i π / n ) k e^{2ik\pi/n}=\left(e^{2i\pi/n}\right)^k e 2 ik π / n = ( e 2 iπ / n ) k
Somme et racines primitives Démonstration · Preuve de la somme nulle Posons ω = e 2 i π / n \omega=e^{2i\pi/n} ω = e 2 iπ / n n ⩾ 2 n\geqslant 2 n ⩾ 2 ω ≠ 1 \omega\neq1 ω = 1 1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = 1 − ω n 1 − ω = 1 − 1 1 − ω = 0 1+\omega+\dots+\omega^{n-1}=\dfrac{1-\omega^n}{1-\omega}=\dfrac{1-1}{1-\omega}=0 1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = 1 − ω 1 − ω n = 1 − ω 1 − 1 = 0
Définition Racine primitive
Une racine n-ième de l'unité est primitive si elle est d'ordre exactement n n n n n n m m m z m = 1 z^m=1 z m = 1 2
Exemple Primitives pour n = 4
i i i i 2 = − 1 ≠ 1 i^2=-1\neq1 i 2 = − 1 = 1 i 4 = 1 i^4=1 i 4 = 1 − 1 -1 − 1 ( − 1 ) 2 = 1 (-1)^2=1 ( − 1 ) 2 = 1 2 < 4 2<4 2 < 4 i i i − i -i − i
Propriété Qui est primitive ?
Les racines primitives n-ièmes sont exactement les nombres e 2 i k π / n e^{2ik\pi/n} e 2 ik π / n k k k n n n 2 n = 6 n=6 n = 6 k = 1 k=1 k = 1 k = 5 k=5 k = 5 6 6 6
Attention, erreur fréquente Ne confonds pas
Toute racine primitive est une racine n-ième de l'unité, mais la réciproque est fausse : 1 1 1 n = 1 n=1 n = 1
Méthode : résoudre z^n = 1 ou z^n = a Méthode Marche à suivre
Écris le second membre sous forme exponentielle : 1 = e 0 1=e^{0} 1 = e 0 a = r e i θ a=re^{i\theta} a = r e i θ
Pose z = ρ e i φ z=\rho e^{i\varphi} z = ρ e i φ ρ n e i n φ = r e i θ \rho^n e^{in\varphi}=re^{i\theta} ρ n e in φ = r e i θ
Identifie les modules (ρ n = r \rho^n=r ρ n = r n φ = θ + 2 k π n\varphi=\theta+2k\pi n φ = θ + 2 k π
Donne les n n n k k k
Exemple Résoudre z^5 = 1
Avec z = ρ e i φ z=\rho e^{i\varphi} z = ρ e i φ ρ 5 = 1 \rho^5=1 ρ 5 = 1 ρ = 1 \rho=1 ρ = 1 5 φ = 2 k π 5\varphi=2k\pi 5 φ = 2 k π φ = 2 k π 5 \varphi=\frac{2k\pi}{5} φ = 5 2 k π e 2 i k π / 5 e^{2ik\pi/5} e 2 ik π /5 k = 0 , … , 4 k=0,\dots,4 k = 0 , … , 4 5 5 5 1 1 1
À retenir À savoir pour la suite
Cette écriture exponentielle prépare les formules de Moivre et d'Euler. Retiens surtout : n n n 1 1 1 2 π n \frac{2\pi}{n} n 2 π
Questions flash 5 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Combien de racines n-ièmes de l'unité l'équation z n = 1 z^n=1 z n = 1 C \mathbb{C} C
1 1 1 2 2 2 n n n n 2 n^2 n 2 Valider
Il y a exactement n n n e 2 i k π / n e^{2ik\pi/n} e 2 ik π / n k k k 0 0 0 n − 1 n-1 n − 1 3 1 1 1 2 2 2
Quelle figure forment les points dont les affixes sont les racines septièmes de l'unité ?
Un heptagone régulier inscrit dans le cercle unité Un triangle équilatéral Une droite Un carré Valider
Les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à n n n 2 n = 7 n=7 n = 7 n = 4 n=4 n = 4
Quelles sont les racines primitives quatrièmes de l'unité ?
Plusieurs réponses possibles.
1 1 1 i i i − 1 -1 − 1 − i -i − i Valider
Pour i i i − i -i − i 1 1 1 4 4 4 − 1 -1 − 1 ( − 1 ) 2 = 1 (-1)^2=1 ( − 1 ) 2 = 1 1 1 1 1 1 = 1 1^1=1 1 1 = 1 1 1 1 4 4 4 2
Pour n ⩾ 2 n\geqslant2 n ⩾ 2 1 1 1
Vrai Faux Valider
Elle vaut 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 + i + ( − 1 ) + ( − i ) = 0 1+i+(-1)+(-i)=0 1 + i + ( − 1 ) + ( − i ) = 0 n = 4 n=4 n = 4
Quel est, en degrés, l'angle entre deux sommets consécutifs du polygone formé par les racines huitièmes de l'unité ?
Ta réponse degrés Valider
L'angle est 2 π 8 = π 4 \frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4} 8 2 π = 4 π 45 45 45 360 n \frac{360}{n} n 360 n n n n − 1 n-1 n − 1
Les questions qu'on se pose Comment savoir si une racine de l'unité est primitive ? Écris-la e 2 i k π / n e^{2ik\pi/n} e 2 ik π / n k k k n n n 1 1 1 2 n = 12 n=12 n = 12 k = 5 k=5 k = 5 k = 4 k=4 k = 4 4 4 4 12 12 12 4 4 4
Pourquoi y a-t-il toujours exactement n solutions à z^n = 1 ? Les solutions sont les racines du polynôme X n − 1 X^n-1 X n − 1 n n n n n n 3 e 2 i k π / n e^{2ik\pi/n} e 2 ik π / n n n n k k k 0 0 0 n − 1 n-1 n − 1
À quoi servent les racines de l'unité ? Elles permettent de résoudre toute équation z n = a z^n=a z n = a 1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = 0 1+\omega+\dots+\omega^{n-1}=0 1 + ω + ⋯ + ω n − 1 = 0
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