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Racines n-ièmes de l'unité : quiz de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Une racine n-ième de l'unité est un complexe tel que , avec entier naturel non nul.2
- Il y en a exactement , toutes de module 1, qui sont les sommets d'un polygone régulier à côtés dont 1 est un sommet.2
- Pour , leur somme vaut 0.2
- Une racine est primitive si son ordre est exactement ; elles sont de la forme avec premier avec , et il y en a .2
Avant de commencer
Ce quiz couvre tout le début du chapitre sur les racines n-ièmes de l'unité : la définition, leur nombre, leur position dans le plan complexe, leur somme, la notion de racine primitive et le calcul avec l'indicatrice d'Euler. Il s'appuie sur ce que tu as vu avant : module, argument, forme exponentielle et lien entre nombres complexes et géométrie.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Une racine n-ième de l'unité est un nombre complexe dont la puissance vaut 1, donc une solution de .2 L'équation cherche les racines n-ièmes du nombre , ce qui est autre chose. Quant à , elle n'a que 0 pour solution, et 0 n'est jamais une racine de l'unité.
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Pour la multiplication, ces racines constituent un groupe cyclique qui compte exactement éléments, avec 1 pour élément neutre.2 Pour , la réponse est 5. L'erreur tentante est de répondre 1 en ne pensant qu'à la solution réelle, ou 2 par analogie avec les racines carrées : dans , l'équation a bien cinq solutions distinctes.
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Ces points sont les sommets d'un polygone régulier à côtés tracé sur le cercle unité, et le point d'affixe 1 en fait partie.2 Le rayon n'est pas : si , alors , donc . Et seules une ou deux racines sont réelles, pas toutes.
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Pour un réel , donne ou puisque . Les deux sont donc des racines 4-ièmes de l'unité. Pour impair, seule la racine 1 est réelle, car : c'est ce qui rend la réponse « seulement 1 » tentante, mais elle ne vaut que pour impair.
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Pour , la somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle, ce que l'on démontre par exemple avec la somme d'une suite géométrique.2 Ici , donc la somme vaut 0. Penser qu'elle vaut 1 parce que « 1 est une racine » oublie que les cinq autres racines compensent exactement ce 1.
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Il y a racines primitives n-ièmes de l'unité.2 Les entiers de 1 à 12 premiers avec 12 sont 1, 5, 7 et 11, donc . L'erreur classique est de répondre 12, c'est-à-dire de compter toutes les racines : une racine primitive doit être d'ordre exactement 12.
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Les racines primitives sont les avec et premiers entre eux.2 Avec , seuls 1 et 5 sont premiers avec 6. Pour , on obtient , dont le cube vaut 1 : son ordre est 3 et non 6. Pour , on obtient , d'ordre 2.
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On calcule , et . Le plus petit entier strictement positif tel que est donc 4, et est une racine primitive 4-ième de l'unité, selon la définition d'une racine primitive.2 Répondre 2 confond avec 1. Répondre 8 vient du fait que aussi, mais l'ordre est le plus petit exposant.
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On a bien , donc est une racine 4-ième de l'unité. Mais elle n'est pas primitive : être primitive, c'est avoir pour ordre exactement , donc doit être le premier exposant strictement positif qui donne 1.2 Or déjà, donc l'ordre de est 2.
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Les racines n-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à côtés, inscrit dans le cercle unité, avec un sommet d'affixe 1.2 Pour , c'est un hexagone régulier avec un sommet en 1. Le sommet en 1 exclut la troisième proposition ; et ce sont six points isolés, non un cercle entier.
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Si , alors . Comme est un réel positif, on en déduit . Cela s'accorde avec le fait que ces racines sont situées sur le cercle unité.2 Répondre confond le module avec l'exposant.
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On calcule , donc est une racine cubique de l'unité. Les trois racines cubiques sont , et , et leur somme est nulle puisque .2 On peut le vérifier avec la somme géométrique : . Les autres réponses oublient que ou la somme nulle.
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Si et , alors . C'est cohérent avec le fait que les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe multiplicatif, d'élément neutre 1.2 Dire « faux » viendrait d'une confusion avec la somme, pour laquelle la propriété ne tient pas toujours.
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On a , dont un argument est . Élever à la puissance 3 multiplie son argument par 3. Comme est une racine 8-ième de l'unité, en est une aussi, située sur le cercle unité.2 L'erreur fréquente est de multiplier le module par 3 au lieu de l'argument.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une racine de l'unité est primitive ?
Pourquoi la somme des racines n-ièmes de l'unité est-elle nulle ?
Pour , on peut y voir la somme des termes d'une suite géométrique de raison .2 Elle vaut , et comme , le numérateur est nul alors que le dénominateur ne l'est pas. Géométriquement, les sommets d'un polygone régulier centré en O se compensent.
Les racines n-ièmes de l'unité sont-elles toujours réelles ?
Non. Seul 1 est toujours réelle ; l'est aussi quand est pair. Les autres sont des complexes non réels situés sur le cercle unité.2 Pour , par exemple, les deux racines différentes de 1 ont une partie imaginaire non nulle.
Sources
- Ressources académiques - IREM Université de Lorraine, IREM. Consulté le 6 novembre 2026.
- Racine de l'unité, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Racine d'un nombre, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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