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Combinatoire et dénombrement : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dénombrer, c'est déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble, par comptage ou grâce à des techniques combinatoires ⁵.
Les objets de base du programme : listes d'éléments, permutations et combinaisons ¹. Une liste de $k$ éléments choisis parmi $n$ , avec répétition possible, se compte par $n^k$ .
Une permutation d'un ensemble à $n$ éléments se compte par $n!$ ¹ ; un arrangement de $k$ éléments distincts parmi $n$ se compte par $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ .
Une combinaison de $k$ éléments parmi $n$ est une partie à $k$ éléments ¹ : l'ordre ne compte pas et $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .
Un ensemble à $n$ éléments possède $2^n$ parties, et $2^n$ est la somme des $\binom{n}{k}$ pour $k$ de $0$ à $n$ ¹.
Pour choisir l'outil : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles permises ? Un arbre ou un tableau aide à voir la structure ³.

Pourquoi compter autrement qu'un par un

Combien de codes de téléphone à quatre chiffres existe-t-il ? Combien de façons de former un podium avec huit coureurs ? Combien de mains différentes peut-on recevoir dans un jeu de cartes ? Dans chaque cas, tu pourrais écrire toutes les possibilités une à une, mais tu y passerais des heures, voire des siècles. Le dénombrement sert à obtenir le résultat par un calcul, sans rien lister.

La combinatoire est la branche des mathématiques qui étudie les configurations de collections finies d'objets ⁴. Elle est très ancienne : on en trouve des traces dans l'Antiquité, en Inde et en Chine ⁴. Son essor est surtout marqué à partir du XVIIe siècle, aux côtés du calcul des probabilités, avec les travaux de Blaise Pascal et de Pierre de Fermat ; au départ, elle servait à résoudre des problèmes de comptage nés de l'étude des jeux de hasard ⁴.

Pour toi, en Terminale, l'objectif est précis. Le programme demande de dénombrer quelques objets de base : des listes d'éléments, des combinaisons et des permutations. On peut les représenter de plusieurs façons : parties d'un ensemble, mots, etc. ¹. Tu retrouveras ces outils dans tout le chapitre sur les probabilités, notamment pour la loi binomiale que tu étudieras ensuite.

Représenter une situation : ensembles, arbres et tableaux

Avant de compter, il faut savoir ce qu'on compte. Une expérience, c'est une suite de choix. Pour s'y retrouver, on dispose de plusieurs représentations, dont deux sont citées dans les ressources de probabilités : les tableaux à double entrée et les arbres ³.

Quel outil pour quelle situation
Situation	Ordre ?	Répétition ?	Nombre
Liste de k éléments parmi n	Oui	Oui	n^k
Permutation de n éléments	Oui	Non	n!
Arrangement de k parmi n	Oui	Non	n!/(n-k)!
Combinaison de k parmi n	Non	Non	n!/(k!(n-k)!)

Quel outil pour quelle situation · Les outils de base du chapitre.

Les deux principes de base : somme et produit

Tous les dénombrements du chapitre reposent sur deux idées simples. Tu les as déjà utilisées sans le savoir en construisant l'arbre des menus.

Les listes : l'ordre compte, les répétitions sont permises

Démonstration · Preuve par le principe multiplicatif

Pour construire une liste, on choisit $x_1$ : il y a $n$ possibilités. On choisit ensuite $x_2$ : comme les répétitions sont permises, il y a encore $n$ possibilités, quel que soit $x_1$ . Et ainsi de suite jusqu'à $x_k$ . Par le principe multiplicatif, on obtient $\underbrace{n\times n\times\cdots\times n}_{k\text{ facteurs}}=n^k$ listes.

Permutations et arrangements : l'ordre compte, sans répétition

Démonstration · Preuve

On range les éléments un par un dans $n$ places. Pour la première place, il y a $n$ choix. Pour la deuxième, il reste $n-1$ éléments, donc $n-1$ choix, quel que soit le premier choix. Pour la troisième, $n-2$ choix, et ainsi de suite jusqu'à la dernière place, où il ne reste qu'un seul élément. Par le principe multiplicatif, le nombre de rangements est $n\times(n-1)\times\cdots\times 1=n!$ .

Démonstration · Preuve

On remplit les $k$ places l'une après l'autre. La première place offre $n$ choix, la deuxième $n-1$ (on a retiré l'élément déjà utilisé), et la $k$ -ième $n-(k-1)=n-k+1$ choix. Le principe multiplicatif donne le produit annoncé. Pour obtenir la forme avec les factorielles, on multiplie et on divise par $(n-k)!$ : le numérateur devient $n\times(n-1)\times\cdots\times 1=n!$ .

Les combinaisons : l'ordre ne compte plus

Quand on forme un comité de trois personnes, qu'on tire trois boules dans une urne en une seule fois ou qu'on coche six numéros sur un bulletin, l'ordre n'a aucune importance. On ne construit plus une liste mais un ensemble.

Démonstration · Preuve par double dénombrement

Comptons de deux façons les arrangements de $k$ éléments parmi $n$ .

Première façon. On sait qu'il y en a $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ .

Deuxième façon. Un arrangement se fabrique en deux temps : d'abord on choisit la partie à $k$ éléments qui servira (il y a $\binom{n}{k}$ choix), puis on range ces $k$ éléments dans un ordre (il y a $k!$ permutations). Le principe multiplicatif donne $\binom{n}{k}\times k!$ arrangements.

Les deux comptages portent sur les mêmes objets : $\binom{n}{k}\times k!=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ , d'où $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ .

Démonstration · Preuve de la symétrie

Choisir une partie à $k$ éléments revient à choisir les $n-k$ éléments qu'on laisse de côté : à chaque partie à $k$ éléments correspond son complémentaire, à $n-k$ éléments, et réciproquement. Il y a donc autant de parties à $k$ éléments que de parties à $n-k$ éléments. On peut aussi lire l'égalité directement dans la formule, car $k!\,(n-k)!$ ne change pas quand on échange $k$ et $n-k$ .

Compter toutes les parties d'un ensemble

Combien de sous-ensembles un ensemble à $n$ éléments possède-t-il, en comptant la partie vide et l'ensemble entier ? Le programme demande une démonstration par dénombrement de la relation qui relie la somme des nombres de combinaisons à une puissance de $2$ ¹.

Démonstration · Preuve par dénombrement

Comptons de deux façons les parties de $E=\{x_1,\dots,x_n\}$ .

Première façon. Pour fabriquer une partie, on décide pour chaque élément $x_i$ s'il y appartient ou non : 2 possibilités par élément. Les $n$ décisions sont indépendantes, donc, par le principe multiplicatif, il y a $2\times2\times\cdots\times2=2^n$ parties.

Deuxième façon. On trie les parties selon leur nombre d'éléments $k$ , de $0$ à $n$ . Pour chaque $k$ , il y a $\binom{n}{k}$ parties à $k$ éléments. Ces cas s'excluent mutuellement : par le principe additif, le nombre total de parties est $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ .

Les deux comptages portent sur le même ensemble de parties, d'où l'égalité.

Choisir le bon outil : méthode générale

Face à un énoncé, le plus difficile est de savoir quel outil employer. Une démarche en quelques questions te permet de décider presque à coup sûr. Le programme insiste d'ailleurs sur le fait de choisir une représentation adaptée à un problème de dénombrement ¹.

IdentifierDécrire une issue : mot, file, podium, comité.
TesterL'ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles permises ?
ChoisirListe, arrangement, permutation ou combinaison.
CalculerMultiplier les choix, additionner les cas, vérifier.

Démarche pour dénombrer · Des réflexes pour ne pas se tromper d'outil.

Erreurs fréquentes et lien avec les probabilités

Ce chapitre prépare directement le calcul de probabilités. Dans une situation où toutes les issues ont la même chance, la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre d'issues favorables et le nombre d'issues possibles : tu as donc besoin de dénombrer ces deux quantités. Les ressources de probabilités rappellent d'ailleurs le dénombrement à l'aide de tableaux ou d'arbres, le vocabulaire des probabilités et le calcul de la probabilité d'un événement ³.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un code et une file

★☆☆Environ 8 min

Un cadenas à code comporte 4 molettes, chacune affichant un chiffre de 0 à 9. Combien de codes différents sont possibles ?
Cinq élèves distincts (Anaïs, Bilal, Chloé, Dylan, Eva) se placent en file indienne. Combien de files différentes peut-on former ?

Indice 1

Dans la première question, les chiffres peuvent se répéter et leur place compte.

Indice 2

Dans la seconde, chaque élève est utilisé une seule fois et l'ordre compte.

Voir la correction pas à pas

Question 1 : chaque molette offre 10 possibilités indépendantes des autres, donc c'est une liste de 4 éléments pris parmi 10.
On applique $n^k$ avec $n=10$ et $k=4$ : $10^4=10\,000$ codes.
Question 2 : on range 5 élèves distincts dans l'ordre, c'est une permutation d'un ensemble à 5 éléments.
On applique $n!$ avec $n=5$ : $5!=5\times4\times3\times2\times1=120$ files.

Les deux situations mettent l'ordre en jeu, mais la répétition les distingue : permise pour le code (donc $10^4$ ), interdite pour la file (donc $5!$ ). Le résultat numérique attendu pour la question 1 est 10 000.

Exercice 2 Un podium de course

★★☆Environ 8 min

Douze coureurs participent à une course. On ne s'intéresse qu'au podium : premier, deuxième et troisième, dans cet ordre. Combien de podiums différents sont possibles ? (On suppose qu'il n'y a pas d'ex æquo.)

Indice 1

Se demander si l'ordre compte : changer la place de deux coureurs change-t-il le podium ?

Indice 2

Remplir les trois places l'une après l'autre en retirant à chaque fois le coureur déjà placé.

Voir la correction pas à pas

L'ordre compte et un coureur ne peut pas occuper deux places : c'est un arrangement de 3 éléments parmi 12.
Premier : 12 choix. Deuxième : 11 choix. Troisième : 10 choix.
Par le principe multiplicatif : $12\times11\times10=1\,320$ .
Contrôle avec les factorielles : $\dfrac{12!}{9!}=12\times11\times10=1\,320$ .

Il y a 1 320 podiums possibles. Si l'on ne cherchait que les trois coureurs « sur le podium » sans leur ordre, on diviserait par $3!=6$ pour obtenir $\binom{12}{3}=220$ .

Exercice 3 Délégués d'une classe

★★☆Environ 8 min

Dans une classe de 30 élèves, on choisit deux délégués ayant exactement le même rôle. Combien de binômes de délégués sont possibles ?

Indice 1

Les deux délégués n'ont pas de rôle distinct : l'ordre a-t-il une importance ?

Indice 2

Compte d'abord les arrangements, puis corrige pour ne pas distinguer l'ordre.

Voir la correction pas à pas

Les deux délégués ont le même rôle : l'ordre ne compte pas, il s'agit donc d'une combinaison de 2 éléments parmi 30.
On applique $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$ : $\binom{30}{2}=\dfrac{30\times29}{2}$ .
On calcule : $\dfrac{870}{2}=435$ .

Il y a 435 binômes possibles. Le nombre 870 compterait des couples ordonnés (titulaire, suppléant) : chaque binôme y apparaît deux fois.

Exercice 4 Un comité mixte

★★★Environ 12 min

Un club compte 5 filles et 7 garçons. On forme un comité de 4 personnes. Combien de comités contiennent exactement 2 filles ?

Indice 1

Le comité est un ensemble : l'ordre ne compte pas. Sépare le choix des filles et celui des garçons.

Indice 2

Les deux choix s'enchaînent : multiplie les nombres de combinaisons.

Voir la correction pas à pas

On choisit d'abord les 2 filles parmi 5 : $\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10$ .
On choisit ensuite les 2 garçons parmi 7 : $\binom{7}{2}=\dfrac{7\times6}{2}=21$ .
Les deux choix sont successifs et indépendants : principe multiplicatif, $10\times21=210$ .

Il y a 210 comités avec exactement 2 filles. Pour « au moins 2 filles », on additionnerait les cas 2, 3 et 4 filles, qui sont exclusifs les uns des autres.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si l'ordre compte dans un énoncé ?

Imagine le résultat écrit, puis échange deux éléments. Si tu obtiens une situation différente (un autre podium, un autre code), l'ordre compte. Si tu obtiens la même (le même comité, la même main), il ne compte pas. Les mots « successivement », « dans l'ordre », « premier, deuxième… » signalent un ordre ; « simultanément », « un groupe », « une équipe » signalent une combinaison.

Quelle différence entre arrangement et permutation ?

Une permutation range tous les éléments d'un ensemble à $n$ éléments : il y en a $n!$ ¹. Un arrangement range seulement $k$ éléments parmi $n$ : il y en a $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ . La permutation est le cas particulier $k=n$ de l'arrangement.

Pourquoi $0!=1$ ?

C'est une convention qui rend les formules cohérentes. Il y a une seule façon de ranger zéro élément : ne rien faire. Elle permet aussi d'écrire $\binom{n}{n}=\dfrac{n!}{n!\,0!}=1$ et $\binom{n}{0}=1$ , ce qui est bien le résultat attendu.

Faut-il apprendre les formules par cœur ou savoir refaire les raisonnements ?

Les deux. Les formules $n^k$ , $n!$ , $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ et $\binom{n}{k}$ doivent être connues. Mais on te demande aussi de justifier tes calculs par un raisonnement : choix successifs, ordre, répétition. Retenir le raisonnement permet de retrouver la formule en cas d'oubli, et la démonstration par dénombrement de la relation $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ fait explicitement partie du programme ¹.

À quoi sert le dénombrement dans la suite du programme ?

Il sert à calculer des probabilités dans les situations où toutes les issues ont la même chance : on compte les cas favorables et les cas possibles ³. Il prépare aussi les coefficients binomiaux, le triangle de Pascal et la loi binomiale, que tu rencontreras ensuite. Plus largement, la combinatoire intervient en informatique, en génétique ou en théorie des jeux ¹.

Sources

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources pédagogiques - Combinatoire et dénombrement, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiche pédagogique - Probabilités et dénombrement, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Combinatoire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Dénombrement, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi compter autrement qu'un par un

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Les listes : l'ordre compte, les répétitions sont permises

Permutations et arrangements : l'ordre compte, sans répétition

Les combinaisons : l'ordre ne compte plus

Compter toutes les parties d'un ensemble

Choisir le bon outil : méthode générale

Erreurs fréquentes et lien avec les probabilités

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Exercice 1 Un code et une file

Exercice 2 Un podium de course

Exercice 3 Délégués d'une classe

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