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Combinatoire et dénombrement : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Dénombrer, c'est déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble, par comptage ou par calcul ⁵.
Ordre important et répétitions possibles : on multiplie le nombre de choix à chaque étape ; ordre important sans répétition : les facteurs diminuent.
Permutations d'un ensemble à $n$ éléments : $n!$ ; combinaisons de $k$ éléments : parties à $k$ éléments, l'ordre ne compte pas ¹.
« Au moins un » : on passe par le contraire (total moins cas sans l'élément cherché).
Avant de calculer, pose-toi deux questions : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles permises ?

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices couvrent le dénombrement tel qu'on le travaille en Terminale : le programme demande de dénombrer des objets combinatoires de base, comme les listes d'éléments, les combinaisons et les permutations, et de les représenter de plusieurs façons (parties d'un ensemble, mots, etc.) ¹. Les exercices sont rangés par difficulté croissante. Cherche d'abord seul, avec papier et crayon. Ouvre un indice seulement si tu bloques plus de quelques minutes, puis compare ta démarche à la correction, pas seulement ton résultat.

À retenirLes outils de calcul

Principe multiplicatif : si l'on fait une succession de choix indépendants, on multiplie les nombres de possibilités.
Liste de $p$ éléments parmi $n$ , avec répétition : $n^p$ .
Liste de $p$ éléments distincts parmi $n$ : $n\times(n-1)\times\dots\times(n-p+1)$ .
Permutations d'un ensemble à $n$ éléments : $n!$ ¹.
Combinaisons de $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments : ce sont les parties à $k$ éléments ; leur nombre se note $\binom{n}{k}$ et vaut $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ ¹.
Total des parties : $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ , relation que le programme demande de démontrer par dénombrement ¹.
Les tableaux à double entrée et les arbres servent à organiser un dénombrement ³.

Les exercices

Exercice 1 Le code de la porte

★☆☆Environ 5 min

Un digicode demande un code de 4 chiffres, chacun choisi parmi $0, 1, \dots, 9$ . Un même chiffre peut être utilisé plusieurs fois.

Combien de codes différents existe-t-il ?

Indice 1

Combien de chiffres peux-tu choisir pour la première position ? Et pour la deuxième ?

Indice 2

Les choix sont indépendants : quelle opération relie-t-elle des choix successifs ?

Voir la correction pas à pas

On compte des listes ordonnées de 4 chiffres, avec répétitions permises : « 1123 » et « 3211 » sont deux codes différents.
Pour chacune des 4 positions, il y a 10 chiffres possibles, quel que soit le choix précédent.
Par le principe multiplicatif, le nombre de codes est $10\times10\times10\times10=10^4$ .
On obtient 10 000 codes.

Quand l'ordre compte et que les répétitions sont permises, on obtient $n^p$ : ici $n=10$ et $p=4$ . Si les chiffres devaient être tous différents, le résultat serait $10\times9\times8\times7=5040$ .

Exercice 2 Deux dés et un tableau

★☆☆Environ 6 min

On lance un dé rouge et un dé bleu, tous deux à six faces numérotées de 1 à 6. On note le couple (résultat du dé rouge ; résultat du dé bleu).

Combien de couples ont une somme égale à 8 ?

Indice 1

Dresse un tableau à double entrée : le dé rouge en lignes, le dé bleu en colonnes.

Indice 2

Cherche dans chaque ligne la case où la somme vaut 8, si elle existe.

Voir la correction pas à pas

On construit le tableau des 36 couples possibles, avec le dé rouge en lignes et le dé bleu en colonnes ³.
Pour une valeur $r$ du dé rouge, il faut un dé bleu égal à $8-r$ , qui doit être compris entre 1 et 6.
$r=1$ donne 7 : impossible. $r=2$ donne 6 ; $r=3$ donne 5 ; $r=4$ donne 4 ; $r=5$ donne 3 ; $r=6$ donne 2.
Les couples sont (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2), soit 5 couples.

Sur 36 couples possibles, 5 donnent une somme de 8. Le tableau à double entrée évite d'oublier un cas et se lit en diagonale pour les sommes constantes.

Exercice 3 Le podium

★☆☆Environ 5 min

Huit coureurs participent à une finale. On suppose qu'il n'y a aucun ex æquo.

Combien de podiums différents (or, argent, bronze) peut-on observer ?

Indice 1

L'ordre compte-t-il ? Un même coureur peut-il apparaître deux fois sur le podium ?

Indice 2

Combien de choix reste-t-il pour l'argent une fois l'or attribué ?

Voir la correction pas à pas

Le podium est une liste ordonnée de 3 coureurs distincts : l'ordre compte, les répétitions sont impossibles.
Il y a 8 choix pour la médaille d'or.
Il reste 7 coureurs pour l'argent, puis 6 pour le bronze.
Le nombre de podiums est $8\times7\times6=336$ .

Une liste de $p$ éléments distincts parmi $n$ se compte avec $p$ facteurs décroissants. Ne divise pas par $3!$ ici : cela reviendrait à ignorer l'ordre, alors que l'or et le bronze ne valent pas la même chose.

Exercice 4 Six amis sur un banc

★★☆Environ 10 min

Six amis, dont Léa et Hugo, s'assoient sur un banc de six places alignées.

Combien y a-t-il de façons de les placer sans condition ?
Combien y a-t-il de façons de les placer si Léa et Hugo veulent être côte à côte ?

La réponse numérique attendue est celle de la question 2.

Indice 1

La question 1 demande le nombre de permutations d'un ensemble à six éléments.

Indice 2

Pour la question 2, regroupe Léa et Hugo en un seul « bloc » et compte les façons de placer les blocs, puis les ordres internes du bloc.

Voir la correction pas à pas

Question 1 : placer six personnes dans un ordre revient à permuter un ensemble à 6 éléments : $6!=720$ façons ¹.
Question 2 : on colle Léa et Hugo en un bloc. On a alors 5 objets à ranger : le bloc et les 4 autres amis.
Ces 5 objets se rangent de $5!=120$ façons.
Dans le bloc, Léa peut être à gauche de Hugo ou l'inverse : 2 façons.
Les deux choix sont indépendants, donc $5!\times2=240$ façons.

Une contrainte de proximité se traite en regroupant les éléments concernés puis en comptant les arrangements internes. On vérifie la cohérence : 240 est plus petit que 720, et c'est un tiers du total ( $720/3$ ), ce qui est plausible.

Exercice 5 Le comité de la classe

★★☆Environ 8 min

Dans une classe de 12 élèves, on choisit 4 délégués pour former un comité, sans distinguer de fonction.

Combien de comités différents peut-on former ?

Indice 1

Un comité est-il une liste ordonnée ou une partie de l'ensemble des élèves ?

Indice 2

Pars du nombre de listes de 4 élèves distincts, puis demande-toi combien de listes donnent le même comité.

Voir la correction pas à pas

Un comité est une partie à 4 éléments de l'ensemble des 12 élèves : c'est une combinaison ¹.
Le nombre de listes ordonnées de 4 élèves distincts est $12\times11\times10\times9=11880$ .
Un même comité correspond à $4!=24$ listes, obtenues en permutant ses 4 membres.
Le nombre de comités est donc $\dfrac{11880}{24}=495$ , c'est-à-dire $\binom{12}{4}=495$ .

Le coefficient $\binom{n}{k}$ s'obtient en divisant le nombre de listes sans répétition par $k!$ . Vérification rapide : $\binom{12}{4}=\binom{12}{8}$ , car choisir 4 élèves à garder revient à choisir 8 élèves à écarter.

Exercice 6 Trois cartes et exactement deux as

★★☆Environ 10 min

Un jeu contient 32 cartes dont 4 as. On tire simultanément 3 cartes.

Combien de tirages contiennent exactement deux as ?

Indice 1

Le tirage est simultané : l'ordre ne compte pas.

Indice 2

Décompose : choisis d'abord les as, puis la carte qui n'est pas un as.

Voir la correction pas à pas

Un tirage simultané est une partie à 3 éléments de l'ensemble des 32 cartes : l'ordre ne compte pas.
On choisit les 2 as parmi les 4 : $\binom{4}{2}=6$ façons.
La troisième carte n'est pas un as : il y a $32-4=28$ cartes possibles, donc $\binom{28}{1}=28$ façons.
Les deux choix sont indépendants : $6\times28=168$ tirages.

Pour « exactement $k$ objets de type A », on choisit les $k$ objets de type A, puis on complète avec des objets qui ne sont pas de type A. L'erreur classique est de choisir 2 as puis « n'importe quelle carte » : on compterait alors plusieurs fois les tirages à trois as.

Exercice 7 Au moins un garçon

★★★Environ 12 min

Un groupe compte 7 filles et 5 garçons. On choisit un comité de 4 personnes, sans fonction distincte.

Combien de comités contiennent au moins un garçon ?

Indice 1

Combien de cas faudrait-il traiter pour « au moins un » : 1, 2, 3 ou 4 garçons ? Existe-t-il un événement contraire plus simple ?

Indice 2

Que signifie « aucun garçon » pour la composition du comité ?

Voir la correction pas à pas

Au total, il y a $\binom{12}{4}=495$ comités possibles.
Le contraire de « au moins un garçon » est « aucun garçon », c'est-à-dire un comité formé uniquement de filles.
Le nombre de comités de 4 filles parmi 7 est $\binom{7}{4}=35$ .
Les comités avec au moins un garçon sont ceux qui restent : $495-35=460$ .

Passer par le contraire évite de sommer quatre cas ( $\binom{5}{1}\binom{7}{3}+\binom{5}{2}\binom{7}{2}+\binom{5}{3}\binom{7}{1}+\binom{5}{4}$ ). Tu peux le vérifier : cette somme vaut $175+210+70+5=460$ .

Exercice 8 Les parties d'un ensemble à 7 éléments

★★★Environ 12 min

Soit $E$ un ensemble à 7 éléments.

Justifie que le nombre total de parties de $E$ (y compris la partie vide et $E$ lui-même) vaut $2^7$ .
En déduire le nombre de parties de $E$ qui contiennent au moins 2 éléments.

Indice 1

Pour chaque élément de $E$ , combien de décisions peut-on prendre : l'inclure ou non dans la partie ?

Indice 2

Quel est le nombre de parties à 0 élément ? à 1 élément ?

Voir la correction pas à pas

Pour construire une partie de $E$ , on décide pour chacun des 7 éléments s'il y appartient ou non : 2 choix par élément.
Par le principe multiplicatif, il y a $2^7=128$ parties. C'est le cas $n=7$ de la relation $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$ que le programme demande de démontrer par dénombrement ¹ : en regroupant les parties selon leur nombre d'éléments $k$ , on retrouve $\binom{7}{0}+\binom{7}{1}+\dots+\binom{7}{7}=128$ .
Il y a $\binom{7}{0}=1$ partie à 0 élément (la partie vide) et $\binom{7}{1}=7$ parties à 1 élément.
Les parties d'au moins 2 éléments sont donc $128-1-7=120$ .

Compter les parties d'un ensemble de deux façons (décision élément par élément, puis tri par taille) est exactement l'idée de la démonstration par dénombrement. Le résultat 120 se vérifie aussi par la somme $\binom{7}{2}+\dots+\binom{7}{7}=21+35+35+21+7+1=120$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si l'ordre compte dans un exercice de dénombrement ?

Imagine deux objets qui contiennent les mêmes éléments rangés différemment. S'ils sont considérés comme deux résultats distincts (un podium, un code, un mot), l'ordre compte et tu comptes des listes. S'ils sont considérés comme le même résultat (un comité, une main de cartes tirée d'un coup), l'ordre ne compte pas et tu comptes des parties, donc des combinaisons ¹. Le vocabulaire aide : « tirage simultané », « sans distinction de rôle » indiquent des combinaisons ; « successivement », « classement », « code » indiquent des listes.

Quand utiliser le passage par le contraire ?

Dès que l'énoncé dit « au moins un » ou « au plus » avec peu de cas exclus. Compter « aucun » est en général un seul calcul, alors que « au moins un » en demande plusieurs. On calcule alors le total, on retranche le cas gênant, et on vérifie que le résultat reste inférieur au total.

Les arbres et les tableaux sont-ils encore utiles en Terminale ?

Oui. Les tableaux à double entrée et les arbres restent des outils pour organiser un dénombrement et pour calculer des probabilités ³. Ils servent à comprendre un problème et à vérifier un calcul sur de petits cas ; pour de grands effectifs, on passe aux formules de listes, de permutations et de combinaisons.

Sources

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale (PDF), Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources pédagogiques - Combinatoire et dénombrement, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Fiche pédagogique - Probabilités et dénombrement, Réseau Canopé. Consulté le 6 novembre 2026.
Combinatoire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Dénombrement, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Le code de la porte

Exercice 2 Deux dés et un tableau

Exercice 3 Le podium

Exercice 4 Six amis sur un banc

Exercice 5 Le comité de la classe

Exercice 6 Trois cartes et exactement deux as

Exercice 7 Au moins un garçon

Exercice 8 Les parties d'un ensemble à 7 éléments

Les questions qu'on se pose

Sources

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