Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Inégalités de concentration et loi des grands nombres : fiche de Tle

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'éloigne de son espérance ; elle ne demande de connaître que l'espérance et la variance.
L'inégalité de concentration en est la version pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon : $P(|M_n-\mu|\geq\epsilon)\leq\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$ .
Quand $n$ grandit, la borne tend vers 0 : c'est le mécanisme qui conduit à la loi des grands nombres.
Une borne est un majorant, pas une valeur exacte : elle peut être large, mais elle est toujours valable.

Ce qu'on cherche à contrôler

Quand tu répètes une expérience aléatoire, la moyenne de tes résultats varie d'un échantillon à l'autre. Les inégalités de concentration donnent une borne sur la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte d'une certaine valeur, en général son espérance ⁶. Elles servent à répondre à une question simple : à quel point peut-on se fier à une moyenne observée ?

De Tchebychev à la concentration de la moyenne

Au programme de Terminale, on commence par démontrer l'inégalité de Tchebychev dans le cas général. Elle débouche ensuite sur l'inégalité de concentration, qui encadre la distance entre la moyenne de l'échantillon et $\mu$ ⁴.

Démonstration · Pourquoi cette borne ?

Les variables de l'échantillon sont indépendantes et suivent la même loi. Donc $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2}=\dfrac{\sigma^2}{n}$ . On applique Tchebychev à $M_n$ avec $\alpha=\epsilon$ :

$P(|M_n-\mu|\geq\epsilon)\leq\frac{V(M_n)}{\epsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$

La démonstration de Tchebychev elle-même consiste à appliquer l'inégalité de Markov à la variable positive $(X-E(X))^2$ ⁵.

La loi des grands nombres

Dans la borne $\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$ , $\sigma^2$ et $\epsilon$ sont fixés. Si $n$ devient grand, la fraction devient aussi petite qu'on veut. La probabilité d'un écart d'au moins $\epsilon$ entre $M_n$ et $\mu$ tend donc vers 0. C'est la loi des grands nombres, que l'inégalité de concentration permet de démontrer ³.

Lien avec l'expérimentation : l'intervalle $[\mu-2\sigma,\mu+2\sigma]$ peut jouer le rôle d'intervalle de fluctuation ³.

Méthode et pièges

Les questions qu'on se pose

À quoi servent ces inégalités en pratique ?

Elles permettent de choisir une taille d'échantillon. Pour garantir un écart inférieur à $\epsilon$ avec une probabilité d'erreur au plus égale à $p$ , il suffit que $\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}\leq p$ , soit $n\geq\dfrac{\sigma^2}{p\epsilon^2}$ . Elles contrôlent l'écart entre la moyenne observée et l'espérance ⁴.

Pourquoi la borne est-elle parfois très large ?

L'inégalité s'applique à de nombreuses variables car elle n'utilise que l'espérance et la variance ⁵. Cette généralité a un prix : elle ne tient pas compte de la forme précise de la loi, donc elle est souvent pessimiste. Elle reste correcte, mais pas optimale.

Quelle différence entre l'inégalité de Tchebychev et celle de concentration ?

La première concerne une variable $X$ quelconque et son écart à $\mu$ . La seconde est la même idée appliquée à la moyenne $M_n$ d'un échantillon : la variance est alors divisée par $n$ , d'où le facteur $n$ au dénominateur ⁴.

Sources

Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale · education.gouv.fr

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe au programme : Concentration, loi des grands nombres, eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Zoom sur probabilités - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ac-guyane.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Probabilités et statistiques Terminale spécialité, ac-guadeloupe.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de concentration, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Inégalités de concentration et loi des grands nombres : fiche de Tle

L'essentiel

Ce qu'on cherche à contrôler

De Tchebychev à la concentration de la moyenne

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