Concentration et loi des grands nombres : quiz de Terminale

Quiz

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1. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique à une variable aléatoire dont on connaît seulement certaines données. Lesquelles suffisent ?

   L'espérance et la varianceLa loi de probabilité complèteL'espérance et la loi normale associéeLa médiane et l'écart interquartile
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2. Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2>0$, et $\alpha>0$. Quelle est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

   $P(|X-\mu|\geq \alpha)\leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$$P(|X-\mu|\geq \alpha)\leq \dfrac{\sigma}{\alpha}$$P(|X-\mu|\geq \alpha)\geq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$$P(|X-\mu|\leq \alpha)\leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$
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3. Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $50$ et pour variance $16$. Quelle borne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle pour $P(|X-50|\geq 8)$ ?

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4. Si l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne la borne $0{,}25$ pour un événement, alors la probabilité de cet événement vaut exactement $0{,}25$.

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5. Soit $M_n$ la moyenne de $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. Quelle est la variance de $M_n$ ?

   $\dfrac{\sigma^2}{n}$$n\sigma^2$$\sigma^2$$\dfrac{\sigma}{n}$
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6. Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$, de variance $\sigma^2=4$, calcule la borne de l'inégalité de concentration pour $P(|M_n-\mu|\geq 0{,}5)$ avec $n=400$.

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7. On étudie la fréquence de Pile sur $n$ lancers d'une pièce équilibrée ($\sigma^2=0{,}25$ pour un lancer). Quel est le plus petit entier $n$ garantissant, d'après l'inégalité de concentration, que $P(|M_n-0{,}5|\geq 0{,}1)\leq 0{,}05$ ?

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8. Quelle idée est au cœur de la démonstration de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

   Appliquer l'inégalité de Markov à la variable positive $(X-\mathbb{E}(X))^2$Dériver la fonction de répartition de $X$Utiliser un développement du binôme de Newton sur $X$Supposer que $X$ suit une loi binomiale
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9. Pour $\epsilon$ fixé, la borne $\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini. Cette propriété est le mécanisme qui conduit à la loi des grands nombres.

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10. Parmi ces conditions, lesquelles interviennent dans l'inégalité de concentration pour la moyenne d'un échantillon ?

    Plusieurs réponses possibles.

    Les variables ont la même espérance et la même varianceLes variables sont indépendantesLes variables suivent une loi normaleLa taille $n$ de l'échantillon est connue
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11. On double la taille $n$ de l'échantillon en gardant $\sigma^2$ et $\epsilon$ identiques. Que devient la borne $\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$ ?

    Elle est divisée par 2Elle est divisée par 4Elle est multipliée par 2Elle ne change pas
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12. On divise l'écart $\epsilon$ par 2 en gardant $n$ et $\sigma^2$ identiques. Que devient la borne $\dfrac{\sigma^2}{n\epsilon^2}$ ?

    Elle est multipliée par 4Elle est multipliée par 2Elle est divisée par 2Elle est divisée par 4
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13. On lance 100 fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de Pile, qui suit la loi binomiale de paramètres $100$ et $0{,}5$. Quelle borne obtient-on pour $P(|X-50|\geq 10)$ avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

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14. D'après le programme, l'intervalle $[\mu-2\sigma,\ \mu+2\sigma]$ peut jouer le rôle d'intervalle de fluctuation. Quelle borne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle pour la probabilité de sortir de cet intervalle ?

    Au plus $\dfrac{1}{4}$Au plus $\dfrac{1}{2}$Au plus $\dfrac{1}{16}$Exactement $\dfrac{1}{4}$
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15. La loi des grands nombres affirme qu'après beaucoup de tirages, le résultat de chaque nouveau tirage devient prévisible.

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