Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Inégalités de concentration et loi des grands nombres : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour $\alpha>0$ , $P(|X-\mu|\geq\alpha)\leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ , avec $\mu$ l'espérance et $\sigma^2$ la variance de $X$ ⁵.
Inégalité de concentration : pour la moyenne $M_n$ de $n$ variables indépendantes de même loi, $P(|M_n-\mu|\geq\epsilon)\leq \dfrac{V(X)}{n\epsilon^2}$ ⁴.
Quand $n$ grandit, la borne tend vers $0$ : c'est ce qui conduit à la loi des grands nombres ².
Méthode : identifier $\mu$ et $\sigma^2$ , repérer l'écart $\alpha$ (ou $\epsilon$ ), remplacer dans la borne, conclure par une probabilité majorée.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices t'entraînent à manier deux outils : l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de concentration. Ils sont classés du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul·e avec la méthode ci-dessous, ouvre un indice si tu bloques, puis compare avec la correction. Une inégalité de ce type ne donne jamais la valeur exacte d'une probabilité : elle donne une borne, un plafond que la probabilité ne dépasse pas.

Les exercices

Exercice 1 Premier calcul de borne

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $10$ et pour variance $4$ .

Écris l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\alpha=3$ .
En déduire un majorant de $P(|X-10|\geq 3)$ , arrondi à $10^{-4}$ .

Indice 1

Identifie $\mu$ , $\sigma^2$ et $\alpha$ avant de remplacer.

Indice 2

Le dénominateur est $\alpha^2$ , pas $\alpha$ .

Voir la correction pas à pas

On lit $\mu=10$ , $\sigma^2=4$ et $\alpha=3$ .
L'inégalité s'écrit $P(|X-10|\geq 3)\leq\dfrac{4}{3^2}$ .
On calcule : $\dfrac{4}{9}\approx 0{,}4444$ .
On conclut : la probabilité que $X$ s'écarte de $10$ d'au moins $3$ est inférieure ou égale à $0{,}4444$ environ.

La borne est ici assez grande : l'écart $3$ vaut seulement un peu plus que l'écart-type $2$ , donc l'inégalité reste peu informative.

Exercice 2 Pile ou face, loi binomiale

★☆☆Environ 6 min

Soit $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;0{,}5)$ : elle compte les « pile » sur $100$ lancers d'une pièce équilibrée.

Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
Majore $P(|X-50|\geq 10)$ .

Indice 1

Pour une loi binomiale, $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$ .

Indice 2

Ici $\alpha=10$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $E(X)=100\times0{,}5=50$ .
On calcule $V(X)=100\times0{,}5\times0{,}5=25$ .
On applique l'inégalité avec $\alpha=10$ : $P(|X-50|\geq10)\leq\dfrac{25}{10^2}$ .
On obtient $0{,}25$ : il y a au plus une chance sur quatre d'obtenir au moins $60$ ou au plus $40$ « pile ».

Le résultat se lit comme un plafond : la probabilité réelle est plus petite, mais on ne peut pas la connaître avec cette seule inégalité.

Exercice 3 Moyenne de 400 lancers

★☆☆Environ 7 min

On lance $400$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ la variable de Bernoulli qui vaut $1$ pour « pile » et $0$ pour « face », et $M_{400}$ la moyenne des $400$ résultats.

Donne $E(X)$ et $V(X)$ .
Majore $P(|M_{400}-0{,}5|\geq 0{,}05)$ à l'aide de l'inégalité de concentration.

Indice 1

Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , $V(X)=p(1-p)$ .

Indice 2

Dans l'inégalité de concentration, on divise par $n\epsilon^2$ .

Voir la correction pas à pas

$E(X)=p=0{,}5$ et $V(X)=0{,}5\times0{,}5=0{,}25$ .
On a $n=400$ et $\epsilon=0{,}05$ , donc $n\epsilon^2=400\times0{,}0025=1$ .
L'inégalité donne $P(|M_{400}-0{,}5|\geq0{,}05)\leq\dfrac{0{,}25}{1}=0{,}25$ .
Conclusion : la fréquence de « pile » s'écarte de $0{,}5$ d'au moins $0{,}05$ avec une probabilité au plus égale à $0{,}25$ .

Remarque que $400$ lancers ne suffisent pas à rendre ce risque petit pour un écart de $0{,}05$ : l'exercice suivant te montre comment choisir $n$ .

Exercice 4 Choisir la taille de l'échantillon

★★☆Environ 10 min

On reprend la pièce équilibrée et la variable de Bernoulli $X$ de variance $0{,}25$ . On souhaite que la fréquence $M_n$ de « pile » s'écarte de $0{,}5$ d'au moins $0{,}1$ avec une probabilité inférieure ou égale à $0{,}05$ .

Détermine, grâce à l'inégalité de concentration, le plus petit entier $n$ qui garantit cette condition.

Indice 1

Écris l'inégalité $\dfrac{0{,}25}{n\times0{,}1^2}\leq0{,}05$ .

Indice 2

Isole $n$ : attention au sens de l'inégalité quand tu multiplies par un nombre positif.

Voir la correction pas à pas

L'inégalité de concentration donne $P(|M_n-0{,}5|\geq0{,}1)\leq\dfrac{0{,}25}{n\times0{,}01}$ .
On veut $\dfrac{0{,}25}{0{,}01\,n}\leq0{,}05$ .
Comme $n>0$ , cela équivaut à $0{,}25\leq0{,}0005\,n$ .
Donc $n\geq\dfrac{0{,}25}{0{,}0005}=500$ .
Le plus petit entier convenable est $n=500$ .

Ce raisonnement est le cœur du lien avec la loi des grands nombres : en augmentant $n$ , on rend la borne aussi petite qu'on veut.

Exercice 5 Un dé équilibré

★★☆Environ 10 min

Soit $X$ le résultat d'un lancer d'un dé équilibré à six faces. On admet $E(X)=3{,}5$ et $V(X)=\dfrac{35}{12}$ . On lance le dé $300$ fois et on note $M_{300}$ la moyenne des résultats.

Majore $P(|M_{300}-3{,}5|\geq0{,}5)$ , arrondi à $10^{-6}$ .

Indice 1

Ici $\epsilon=0{,}5$ , donc $\epsilon^2=0{,}25$ .

Indice 2

Calcule d'abord $n\epsilon^2$ .

Voir la correction pas à pas

On identifie $n=300$ , $\epsilon=0{,}5$ et $V(X)=\dfrac{35}{12}$ .
On calcule $n\epsilon^2=300\times0{,}25=75$ .
L'inégalité donne $P(|M_{300}-3{,}5|\geq0{,}5)\leq\dfrac{35/12}{75}=\dfrac{35}{900}$ .
Soit environ $0{,}038889$ .

Avec $300$ lancers, la moyenne s'écarte de $3{,}5$ d'au moins $0{,}5$ dans moins de $4\,\%$ des cas.

Exercice 6 Variance d'une moyenne

★★☆Environ 12 min

Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes, de même loi, d'espérance $\mu$ et de variance $9$ . On note $M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}{n}$ et on prend $n=25$ .

Montre que $V(M_n)=\dfrac{9}{n}$ puis calcule $V(M_{25})$ .
Majore $P(|M_{25}-\mu|\geq2)$ .

Indice 1

Utilise $V(aY)=a^2V(Y)$ et la variance d'une somme de variables indépendantes.

Indice 2

L'inégalité de Tchebychev appliquée à $M_n$ utilise $V(M_n)$ et $\alpha=\epsilon$ .

Voir la correction pas à pas

Les variables sont indépendantes, donc $V(X_1+\dots+X_n)=n\times9$ .
Alors $V(M_n)=\dfrac{1}{n^2}\times9n=\dfrac{9}{n}$ .
Pour $n=25$ : $V(M_{25})=\dfrac{9}{25}=0{,}36$ .
L'espérance de $M_n$ vaut $\mu$ . Tchebychev avec $\alpha=2$ donne $P(|M_{25}-\mu|\geq2)\leq\dfrac{0{,}36}{4}=0{,}09$ .

Tu viens de retrouver l'inégalité de concentration : le facteur $n$ au dénominateur vient de la variance de la moyenne.

Exercice 7 De Markov à Tchebychev

★★★Environ 15 min

On rappelle l'inégalité de Markov : si $Z$ est une variable aléatoire positive et $a>0$ , alors $P(Z\geq a)\leq\dfrac{E(Z)}{a}$ . La démonstration de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev consiste à l'appliquer à la variable positive $Z=(X-E(X))^2$ et au réel $a=\alpha^2$ ⁵.

Justifie que $Z$ est positive et donne $E(Z)$ .
Montre que $\{|X-\mu|\geq\alpha\}=\{Z\geq\alpha^2\}$ .
Conclus.

Indice 1

$E(Z)$ est la définition de la variance.

Indice 2

Deux réels positifs sont ordonnés comme leurs carrés.

Voir la correction pas à pas

$Z=(X-\mu)^2$ est un carré, donc $Z\geq0$ . Son espérance est $E((X-\mu)^2)=V(X)=\sigma^2$ .
Pour $\alpha>0$ , on a $|X-\mu|\geq\alpha$ si et seulement si $(X-\mu)^2\geq\alpha^2$ , car la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Les deux événements sont donc égaux.
Avec $a=\alpha^2>0$ , Markov donne $P(Z\geq\alpha^2)\leq\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ .
Comme les événements coïncident, $P(|X-\mu|\geq\alpha)\leq\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ .

L'inégalité de Tchebychev n'est donc pas un théorème isolé : c'est Markov appliqué à l'écart au carré.

Exercice 8 Garantie de type intervalle de fluctuation

★★★Environ 12 min

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma>0$ .

Applique l'inégalité de Tchebychev avec $\alpha=k\sigma$ ( $k>0$ ) et montre que $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq\dfrac{1}{k^2}$ .
Déduis-en une minoration de $P(X\in[\mu-2\sigma\,;\mu+2\sigma])$ .
Quelle valeur de $k$ garantit que $X$ reste dans $[\mu-k\sigma\,;\mu+k\sigma]$ avec une probabilité au moins égale à $0{,}99$ ?

Indice 1

L'événement contraire de $|X-\mu|\geq\alpha$ est $|X-\mu|<\alpha$ .

Indice 2

Il faut résoudre $\dfrac{1}{k^2}\leq0{,}01$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $\alpha=k\sigma$ : $\dfrac{\sigma^2}{k^2\sigma^2}=\dfrac{1}{k^2}$ , d'où le résultat.
Pour $k=2$ : $P(|X-\mu|\geq2\sigma)\leq\dfrac14$ . Par passage au contraire, $P(|X-\mu|<2\sigma)\geq\dfrac34=0{,}75$ , et cet événement est inclus dans $X\in[\mu-2\sigma\,;\mu+2\sigma]$ .
On cherche $k$ tel que $1-\dfrac{1}{k^2}\geq0{,}99$ , soit $\dfrac{1}{k^2}\leq0{,}01$ .
Comme $k>0$ , cela donne $k^2\geq100$ , donc $k\geq10$ . La valeur $k=10$ convient.

L'intervalle $[\mu-2\sigma\,;\mu+2\sigma]$ peut jouer le rôle d'intervalle de fluctuation ³, mais Tchebychev ne garantit que $75\,\%$ ; pour $99\,\%$ il faut aller jusqu'à $10\sigma$ , ce qui montre que cette inégalité est large.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi l'inégalité de Tchebychev donne-t-elle parfois une borne supérieure à 1 ?

Quand $\alpha$ est petit devant $\sigma$ , le quotient $\dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ dépasse $1$ . L'inégalité reste vraie, car une probabilité est toujours inférieure à $1$ , mais elle n'apporte aucune information. Elle est utile quand l'écart $\alpha$ est nettement plus grand que l'écart-type, ou quand on l'applique à une moyenne $M_n$ avec $n$ grand ⁵.

Quelle différence entre l'inégalité de Tchebychev et l'inégalité de concentration ?

L'inégalité de Tchebychev concerne une variable $X$ quelconque. L'inégalité de concentration est son application à la moyenne $M_n$ d'un échantillon : la variance de $M_n$ vaut $\dfrac{V(X)}{n}$ , d'où le $n$ au dénominateur ⁴. C'est ce $n$ qui permet, quand il grandit, de faire tendre la borne vers $0$ et d'aboutir à la loi des grands nombres ².

Que faut-il écrire en conclusion au bac ?

Précise la variable, les valeurs de $\mu$ et de $V(X)$ , la formule utilisée avec ses hypothèses (indépendance pour une moyenne), le calcul de la borne, puis une phrase du type « la probabilité est majorée par… ». Ne présente jamais la borne comme la valeur exacte de la probabilité.

Sources

Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale · education.gouv.fr

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe au programme : Concentration, loi des grands nombres, eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Zoom sur probabilités - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ac-guyane.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Probabilités et statistiques Terminale spécialité, ac-guadeloupe.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de concentration, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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