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Concentration et loi des grands nombres : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance : $P(|X-\mu|\geq \alpha)\leq \dfrac{\sigma^2}{\alpha^2}$ . Il suffit de connaître l'espérance et la variance.
Pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon de taille $n$ , la variance est divisée par $n$ : c'est l'inégalité de concentration $P(|M_n-\mu|\geq \varepsilon)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .
La loi des grands nombres en découle : pour tout $\varepsilon>0$ , $P(|M_n-\mu|\geq\varepsilon)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .
Ces inégalités donnent des bornes sûres mais souvent grossières : elles servent à dimensionner un échantillon, jamais à calculer une probabilité exacte.
Méthode : identifier $\mu$ et $\sigma^2$ , écrire l'écart $\varepsilon$ , appliquer la formule, conclure en rappelant que la borne est un majorant.

Pourquoi étudier la concentration d'une variable aléatoire

Quand tu lances une pièce équilibrée un grand nombre de fois, tu as l'intuition que la fréquence de « pile » finit par se rapprocher de $0{,}5$ . Cette intuition est juste, mais en mathématiques une intuition ne suffit pas : il faut dire de combien la fréquence peut s'écarter de $0{,}5$ , avec quelle probabilité, et à partir de quelle taille d'échantillon. C'est exactement le rôle des inégalités de concentration.

En théorie des probabilités, une inégalité de concentration fournit une borne sur la probabilité qu'une variable aléatoire s'éloigne d'une certaine valeur, en général son espérance ⁶. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est la première que tu rencontres : elle montre qu'une variable aléatoire s'écarte rarement de son espérance, puisque la probabilité d'un grand écart reste faible ⁵.

Le programme de Terminale avance par paliers. On démontre d'abord l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev en toute généralité. On en déduit ensuite l'inégalité de concentration, qui contrôle l'écart entre la moyenne d'un échantillon et l'espérance ⁴. On aboutit enfin à la démonstration de la loi des grands nombres ¹.

Les rappels indispensables : espérance, variance, moyenne d'un échantillon

Avant de démarrer, remettons en place les outils des chapitres précédents. Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs $x_1, \dots, x_k$ avec les probabilités $p_1,\dots,p_k$ .

L'inégalité de Markov, l'outil de départ

Pour démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on part de la variable positive $Z=(X-E(X))^2$ et on lui applique l'inégalité de Markov avec le seuil $a=\alpha^2$ , strictement positif ⁵. Il faut donc d'abord comprendre ce résultat intermédiaire. L'inégalité de Markov donne une borne sur la probabilité qu'une variable à valeurs positives dépasse un seuil : elle permet de majorer la queue d'une loi de probabilité ⁶.

Démonstration · Preuve dans le cas d'une loi finie

Notons $z_1,\dots,z_k$ les valeurs de $Z$ , toutes positives ou nulles, et $p_i=P(Z=z_i)$ . Alors

$E(Z)=\sum_{i=1}^k p_i z_i \geq \sum_{i : z_i\geq a} p_i z_i,$

car on retire des termes qui sont positifs ou nuls. Dans la somme restante, chaque $z_i$ vaut au moins $a$ , donc

$\sum_{i : z_i\geq a} p_i z_i \geq a\sum_{i : z_i\geq a} p_i = a\,P(Z\geq a).$

On obtient $E(Z)\geq a\,P(Z\geq a)$ , et il suffit de diviser par $a>0$ .

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Cette inégalité ne réclame que l'espérance et la variance de $X$ : inutile de connaître la loi entière, ce qui explique qu'elle s'applique dans des situations très variées ⁵. Elle permet aussi de démontrer la loi des grands nombres ⁵.

Démonstration · Démonstration

Posons $Z=(X-\mu)^2$ . C'est une variable aléatoire positive ou nulle, et son espérance est $E(Z)=V(X)=\sigma^2$ par définition de la variance. Prenons $a=\alpha^2>0$ .

L'événement $\{|X-\mu|\geq\alpha\}$ est le même que $\{(X-\mu)^2\geq\alpha^2\}$ , car $\alpha>0$ et la fonction carré est croissante sur les nombres positifs. On a donc

$P\big(|X-\mu|\geq\alpha\big)=P(Z\geq a)\leq\frac{E(Z)}{a}=\frac{\sigma^2}{\alpha^2}$

d'après l'inégalité de Markov.

De Bienaymé-Tchebychev à l'inégalité de concentration

Une seule variable $X$ peut très bien s'écarter de son espérance. Mais si l'on moyenne beaucoup de répétitions indépendantes, les écarts se compensent. L'idée est de traduire ce phénomène par un calcul de variance. L'inégalité de Tchebychev devient alors l'inégalité de concentration pour la moyenne $M_n$ ⁴.

Démonstration · Démonstration

Par linéarité de l'espérance,

$E(M_n)=\frac1n\big(E(X_1)+\dots+E(X_n)\big)=\frac1n\times n\mu=\mu.$

Pour la variance, on utilise $V(aX)=a^2V(X)$ avec $a=\frac1n$ , puis l'additivité de la variance pour des variables indépendantes :

$V(M_n)=\frac1{n^2}\big(V(X_1)+\dots+V(X_n)\big)=\frac1{n^2}\times n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.$

Démonstration · Démonstration

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable $M_n$ , dont l'espérance est $\mu$ et la variance $\dfrac{\sigma^2}{n}$ , avec $\alpha=\varepsilon$ :

$P\big(|M_n-\mu|\geq\varepsilon\big)\leq\frac{\sigma^2/n}{\varepsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.$

Observe la structure de la borne : elle est proportionnelle à $\sigma^2$ (plus la variable est dispersée, moins la borne est bonne), inversement proportionnelle à $n$ (plus l'échantillon est grand, meilleure est la borne) et inversement proportionnelle à $\varepsilon^2$ (exiger une précision deux fois plus fine multiplie la borne par quatre).

MarkovP(Z ≥ a) ≤ E(Z)/a pour Z positive
Bienaymé-TchebychevMarkov appliqué à Z = (X − μ)²
ConcentrationOn remplace X par M_n, de variance σ²/n
Loi des grands nombresσ²/(nε²) tend vers 0 quand n grandit

De Markov à la loi des grands nombres · Chaque résultat se déduit du précédent.

La loi des grands nombres

La loi des grands nombres exprime que la moyenne d'un échantillon de grande taille est proche de l'espérance, avec une probabilité aussi proche de $1$ que l'on veut. Le programme en donne d'abord une version vulgarisée, que l'on précise ensuite avec la concentration ³. Une fois l'inégalité de concentration établie, la démonstration tient en quelques lignes ².

Démonstration · Démonstration

Fixons $\varepsilon>0$ . D'après l'inégalité de concentration, pour tout entier $n\geq1$ ,

$0\leq P\big(|M_n-\mu|\geq\varepsilon\big)\leq\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.$

Le réel $\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ est une constante et $\dfrac1n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ . Le terme de droite tend donc vers $0$ . Par le théorème des gendarmes, la probabilité au milieu tend aussi vers $0$ .

Pour une lecture plus concrète, passons au complémentaire : $P(|M_n-\mu|<\varepsilon)\geq 1-\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ , et cette quantité tend vers $1$ . Autrement dit, pour $n$ grand, il devient presque certain que $M_n$ est dans l'intervalle $]\mu-\varepsilon\,;\mu+\varepsilon[$ , aussi petit que soit $\varepsilon$ .

« Lorsque n est grand, sauf… » ³ : le programme formule ainsi la version intuitive, avant de la préciser par l'inégalité de concentration.

Version vulgarisée

Applications : dimensionner un échantillon

L'application principale de l'inégalité de concentration est de répondre à la question : combien de répétitions faut-il pour garantir une précision donnée ? On fixe l'écart $\varepsilon$ et le risque maximal accepté $r$ , puis on résout $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\leq r$ .

ExempleSondage sur une proportion

Une urne contient une proportion inconnue $p$ de boules rouges. On tire avec remise $n$ boules et on note $F_n$ la fréquence de rouges. On veut $P(|F_n-p|\geq0{,}05)\leq0{,}05$ quelle que soit la valeur de $p$ .

On sait que $\sigma^2=p(1-p)$ . Or $p(1-p)\leq\dfrac14$ pour tout $p\in[0\,;1]$ , car $\dfrac14-p(1-p)=\left(p-\dfrac12\right)^2\geq0$ . On résout donc

$\frac{1/4}{n\times0{,}05^2}\leq0{,}05\iff n\geq\frac{0{,}25}{0{,}05\times0{,}0025}=2000.$

Avec $2000$ tirages, on est assuré que l'erreur de la fréquence dépasse $0{,}05$ avec une probabilité d'au plus $5\,\%$ .

Erreurs fréquentes et méthode de rédaction

Exercices corrigés

Exercice 1 Une borne de Bienaymé-Tchebychev

★☆☆Environ 5 min

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $50$ et pour variance $16$ . Donner, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, une borne supérieure de $P(|X-50|\geq 8)$ .

Indice 1

Identifie $\mu$ , $\sigma^2$ et l'écart $\alpha$ .

Indice 2

La formule contient la variance, pas l'écart-type.

Voir la correction pas à pas

On lit $\mu=50$ , $\sigma^2=16$ et $\alpha=8$ .
L'inégalité s'écrit $P(|X-50|\geq8)\leq\dfrac{16}{8^2}$ .
On calcule $\dfrac{16}{64}=\dfrac14=0{,}25$ .

La probabilité que $X$ s'écarte de $50$ d'au moins $8$ est au plus égale à $0{,}25$ .

Exercice 2 Fréquence de pile sur 100 lancers

★★☆Environ 8 min

On lance $100$ fois une pièce équilibrée. On note $M_{100}$ la fréquence de pile. À l'aide de l'inégalité de concentration, donner une borne supérieure de $P(|M_{100}-0{,}5|\geq0{,}05)$ . Que penser de ce résultat ?

Indice 1

Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$ , la variance est $p(1-p)$ .

Indice 2

Remplace $n$ , $\sigma^2$ et $\varepsilon$ dans $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

Voir la correction pas à pas

Chaque lancer suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}5$ : $\mu=0{,}5$ et $\sigma^2=0{,}5\times0{,}5=0{,}25$ .
L'inégalité de concentration donne $P(|M_{100}-0{,}5|\geq0{,}05)\leq\dfrac{0{,}25}{100\times0{,}05^2}$ .
Le dénominateur vaut $100\times0{,}0025=0{,}25$ , donc la borne vaut $1$ .

La borne vaut $1$ : elle est vraie mais ne donne aucune information, car une probabilité est toujours inférieure ou égale à $1$ . Avec $100$ lancers, on ne peut pas garantir cette précision par cette méthode.

Exercice 3 Taille minimale d'un échantillon

★★★Environ 10 min

Une pièce équilibrée est lancée $n$ fois ; $M_n$ désigne la fréquence de pile. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}05$ .

Indice 1

Résous l'inéquation $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\leq0{,}05$ d'inconnue $n$ .

Indice 2

Attention au sens de l'inégalité quand tu isoles $n$ : $n$ est au dénominateur.

Voir la correction pas à pas

Ici $\mu=0{,}5$ , $\sigma^2=0{,}25$ et $\varepsilon=0{,}05$ .
On cherche $n$ tel que $\dfrac{0{,}25}{n\times0{,}05^2}\leq0{,}05$ .
Comme $n>0$ , cela équivaut à $n\geq\dfrac{0{,}25}{0{,}05\times0{,}0025}$ .
Le calcul donne $\dfrac{0{,}25}{0{,}000125}=2000$ .

Il suffit de $2000$ lancers pour que la borne de l'inégalité de concentration soit inférieure ou égale à $0{,}05$ .

Exercice 4 Un dé lancé cent fois

★★★Environ 12 min

On lance $100$ fois un dé équilibré à six faces et on note $M_{100}$ la moyenne des résultats obtenus. Pour un lancer, l'espérance est $3{,}5$ et la variance est $\dfrac{35}{12}$ . Donner une borne supérieure de $P(|M_{100}-3{,}5|\geq0{,}5)$ , arrondie à $10^{-3}$ près.

Indice 1

Les lancers sont indépendants : la variance de la moyenne est $\dfrac{35}{12\times100}$ .

Indice 2

Applique l'inégalité de concentration avec $\varepsilon=0{,}5$ .

Voir la correction pas à pas

On a $\mu=3{,}5$ , $\sigma^2=\dfrac{35}{12}$ , $n=100$ et $\varepsilon=0{,}5$ .
L'inégalité de concentration donne $P(|M_{100}-3{,}5|\geq0{,}5)\leq\dfrac{35/12}{100\times0{,}25}$ .
Le dénominateur vaut $25$ , donc la borne vaut $\dfrac{35}{12\times25}=\dfrac{35}{300}=\dfrac{7}{60}$ .
En valeur décimale, $\dfrac{7}{60}\approx0{,}117$ .

La probabilité que la moyenne de $100$ lancers s'écarte de $3{,}5$ d'au moins $0{,}5$ est au plus égale à $0{,}117$ environ, soit moins de $12\,\%$ .

Les questions qu'on se pose

À quoi servent concrètement ces inégalités ?

Elles permettent de garantir une précision sans connaître toute la loi : sondages, contrôle qualité, simulations. Par exemple, on peut calculer combien de tirages il faut pour que la fréquence observée soit proche de la probabilité avec un risque d'erreur fixé. Elles justifient aussi le lien entre fréquence observée et probabilité.

Pourquoi la borne est-elle parfois supérieure à 1 ?

Parce que l'inégalité vaut pour toutes les lois d'espérance et de variance données. Si l'écart $\alpha$ est petit par rapport à $\sigma$ , le quotient $\sigma^2/\alpha^2$ dépasse $1$ . La borne reste vraie mais n'apporte rien : il faut alors augmenter $n$ (pour une moyenne) ou accepter un écart plus grand.

Quelle est la différence entre l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l'inégalité de concentration ?

La première s'applique à une variable aléatoire $X$ : $P(|X-\mu|\geq\alpha)\leq\sigma^2/\alpha^2$ . La seconde est la même inégalité appliquée à la moyenne $M_n$ d'un échantillon, dont la variance est $\sigma^2/n$ : on obtient $P(|M_n-\mu|\geq\varepsilon)\leq\sigma^2/(n\varepsilon^2)$ ⁴.

Dois-je savoir démontrer ces résultats pour le bac ?

Le programme prévoit de démontrer l'inégalité de Tchebychev en général ⁴, et ce travail mène à la démonstration de la loi des grands nombres ¹. Sois donc capable de refaire les enchaînements : Markov appliqué à $(X-\mu)^2$ , la variance $\sigma^2/n$ de la moyenne, puis le passage à la limite avec le théorème des gendarmes. Les exercices demandent surtout d'appliquer la formule et de dimensionner un échantillon.

Comment choisir la taille d'un échantillon avec cette méthode ?

Fixe l'écart $\varepsilon$ et le risque maximal $r$ que tu acceptes, puis résous $\dfrac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\leq r$ , soit $n\geq\dfrac{\sigma^2}{r\varepsilon^2}$ . Si $\sigma^2$ est inconnue pour une proportion, utilise $\sigma^2\leq\dfrac14$ , qui est valable pour toute valeur de $p$ .

Sources

Programme visé : Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale · education.gouv.fr

Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe au programme : Concentration, loi des grands nombres, eduscol.education.gouv.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Zoom sur probabilités - Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, ac-guyane.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Probabilités et statistiques Terminale spécialité, ac-guadeloupe.fr. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Inégalité de concentration, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Pourquoi étudier la concentration d'une variable aléatoire

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L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

De Bienaymé-Tchebychev à l'inégalité de concentration

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Exercice 1 Une borne de Bienaymé-Tchebychev

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