Vecteurs, droites et plans de l'espace : cours de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un vecteur de l'espace se construit comme dans le plan : il représente une translation, et on l'additionne ou on le multiplie par un réel avec les mêmes règles.
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un s'écrit k fois l'autre ; cela caractérise les droites parallèles et trois points alignés.
Une combinaison linéaire de vecteurs est une somme de multiples de ces vecteurs ; trois vecteurs sont coplanaires quand l'un est combinaison linéaire des deux autres.
Un plan est dirigé par deux vecteurs non colinéaires ; une droite l'est par un vecteur non nul.
Position relative : une droite et un plan sont sécants, parallèles ou la droite est contenue dans le plan ; la direction des droites et des plans permet de le démontrer.
Où se situe ce chapitre
Jusqu'ici, tu as manipulé des vecteurs dans le plan. Ce chapitre fait un pas de plus : on travaille dans l'espace, avec trois dimensions. Le programme de Terminale de spécialité place cette partie dans le bloc « Algèbre et géométrie » et la nomme « Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace » 2.
Selon le programme, cette section ouvre le calcul avec les vecteurs dans l'espace et y associe des notions voisines : les translations, les combinaisons linéaires, l'indépendance linéaire, les directions de droites et de plans 1. Le texte invite aussi à partir de ce que l'on perçoit de l'espace 1. Autrement dit : on dessine, on observe un cube ou un tétraèdre, et on traduit ce qu'on voit en égalités de vecteurs.
Ce cours suit cet ordre : les vecteurs et leurs opérations, la colinéarité, les combinaisons linéaires et la coplanarité, puis les positions relatives de droites et de plans, et enfin un aperçu de l'orthogonalité, que le programme relie au produit scalaire 1. Les repères, les coordonnées et les représentations paramétriques, qui relèvent aussi de cette partie du programme, sont traités dans les chapitres suivants de ce site.
Les vecteurs de l'espace
La liaison avec les translations est mise en avant par le programme 1. Concrètement : si tu fais glisser tout l'espace de A vers B, chaque point M arrive en un point M′ tel que MM′=AB. Deux couples de points qui définissent la même translation donnent le même vecteur.
Cette propriété est celle du plan, mais attention : dans l'espace, un parallélogramme est toujours contenu dans un plan. Quatre points qui vérifient AB=CD sont donc automatiquement coplanaires.
Colinéarité et directions de droites
Combinaisons linéaires et coplanarité
Dans l'exemple du cube, AG=1AB+1AD+1AE est une combinaison linéaire de trois vecteurs, avec a=b=c=1.
Le programme dit la même chose sous un autre angle : des vecteurs qui ne sont pas coplanaires engendrent tous les vecteurs de l'espace 1. Cela veut dire que, dès que tu prends trois vecteurs non coplanaires, n'importe quel autre vecteur de l'espace s'écrit comme leur combinaison linéaire. C'est ce qui rendra possible les repères du chapitre suivant.
BaseChoisir A, B, C non alignés
ChaslesExprimer AM avec des arêtes
IdentifierÉcrire AM = a AB + b AC
ConclureM est dans le plan (ABC)
Démontrer une coplanarité · Méthode de la coplanarité par combinaison linéaire.
Directions de plans et positions relatives
Les deux énoncés disent la même chose, vu de deux côtés. Le premier te donne un critère de parallélisme à vérifier par un calcul : on cherche a et b avec w=au+bv. Le second te donne la conséquence d'une intersection : le troisième vecteur ajoute une dimension, ce qui permet d'atteindre tout l'espace.
Vecteurs de l'espace
Opérations
Chasles
Somme
Multiple par k
Colinéarité
Alignement
Parallélisme
Direction de droite
Coplanarité
Combinaison linéaire
Direction de plan
Positions
Sécant
Parallèle
Contenu
Carte du chapitre · Les notions du chapitre et leurs liens.
Orthogonalité : ce qui arrive ensuite
Le programme veut faire dialoguer le calcul algébrique (vecteurs, produit scalaire) et la géométrie de l'espace, surtout à propos de l'orthogonalité de deux droites, puis d'une droite et d'un plan 1. Attention : dans l'espace, deux droites orthogonales ne se coupent pas forcément, alors que deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Ce chapitre prépare le terrain, sans encore utiliser le produit scalaire.
Méthodes et pièges à connaître
Exercices corrigés
Exercice 1 Décomposer une diagonale
★☆☆Environ 8 min
Soit ABCDEFGH un cube (ABCD en bas, EFGH en haut, E au-dessus de A). Exprime BH comme combinaison linéaire de AB, AD et AE.
Indice 1
Passe par un sommet intermédiaire avec la relation de Chasles : BH=BA+AH.
Indice 2
Décompose AH : H est au-dessus de D.
Voir la correction pas à pas
On écrit BH=BA+AD+DH avec Chasles.
On remplace BA=−AB.
On remplace DH=AE car les arêtes verticales sont égales.
On obtient BH=−AB+AD+AE.
BH=−AB+AD+AE : les coefficients sont −1, 1 et 1.
Exercice 2 Deux points sur une arête
★★☆Environ 10 min
Soit ABCD un tétraèdre. Le point M vérifie AM=43AB et le point N vérifie AN=21AB. On écrit MN=kAB. Donne la valeur de k et dis si M, N et A sont alignés.
Indice 1
Utilise Chasles : MN=MA+AN.
Indice 2
MA=−AM.
Voir la correction pas à pas
On écrit MN=MA+AN=−AM+AN.
On remplace : MN=−43AB+21AB.
On additionne les coefficients : −43+21=−41.
Donc MN=−41AB, et AM, AN sont tous deux colinéaires à AB : les points sont alignés.
k=−41=−0,25 ; A, M, N sont alignés sur la droite (AB). Le signe négatif indique que MN est de sens contraire à AB.
Exercice 3 Une droite parallèle à un plan
★★★Environ 15 min
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AD] et J le milieu de [BD]. Montre que la droite (IJ) est parallèle au plan (ABC), puis explique pourquoi elle n'est pas contenue dans ce plan.
Indice 1
Exprime IJ avec Chasles en passant par D : IJ=ID+DJ.
Indice 2
Les vecteurs directeurs du plan (ABC) sont AB et AC.
Voir la correction pas à pas
Comme I est le milieu de [AD], ID=21AD. Comme J est le milieu de [BD], DJ=21DB.
On a IJ=21AD+21DB=21(AD+DB)=21AB par Chasles.
IJ=21AB+0AC est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan (ABC) : la droite est parallèle au plan ou contenue dedans.
Le point I est le milieu de [AD] ; il n'est pas dans le plan (ABC), car sinon D y serait aussi, ce qui est impossible pour un tétraèdre. La droite n'est donc pas contenue dans le plan.
(IJ) est parallèle au plan (ABC) sans y être contenue. On retrouve de plus que (IJ)∥(AB).
Quiz
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En passant par B et C, Chasles donne AB+BC+CG, avec BC=AD et CG=AE. La deuxième réponse oublie la hauteur : elle donne AC. La troisième change un signe sans raison.
Les vecteurs sont colinéaires, donc les droites ont la même direction. Le coefficient −3 n'impose pas l'égalité des vecteurs ni des longueurs : ici CD=3AB et le sens est opposé.
Vrai : les deux vecteurs partent du même point A, donc colinéaires revient à dire que B et C sont sur une même droite passant par A. Ce serait faux sans origine commune, par exemple avec AB et CD.
C'est le critère de coplanarité. La deuxième réponse mélange longueurs et vecteurs. La troisième place M sur la droite (AB), qui est certes dans le plan, mais ne couvre pas tous les cas. Un dessin ne prouve rien.
Si w était coplanaire avec u et v, la droite serait parallèle au plan ou contenue dedans, sans point d'intersection unique. Un vecteur directeur est de plus toujours non nul.
Dans les deux premiers cas, le troisième vecteur est combinaison linéaire des deux autres. Les arêtes issues d'un sommet d'un cube ou d'un tétraèdre ne sont pas dans un même plan : ce sont des vecteurs linéairement indépendants.
IJ=IA+AJ=−21AB+21AC=21BC. On se trompe en prenant k=−21 si l'on inverse B et C dans BC.
Les questions qu'on se pose
Quelle est la différence entre colinéaires et coplanaires ?
Colinéaires concerne deux vecteurs : l'un est un multiple de l'autre, donc ils ont la même direction. Coplanaires concerne trois vecteurs (ou plus) : ils sont tous représentés dans un même plan. Deux vecteurs colinéaires sont toujours coplanaires avec n'importe quel troisième vecteur.
Pourquoi faut-il deux vecteurs non colinéaires pour diriger un plan ?
Un seul vecteur ne donne qu'une direction, donc une droite. Deux vecteurs colinéaires donnent encore la même direction. Il faut deux directions différentes pour balayer une surface : en combinant au+bv, on atteint tous les points du plan.
Comment savoir si je dois prouver une colinéarité ou une coplanarité ?
Regarde ce que l'énoncé demande. « Points alignés » ou « droites parallèles » : colinéarité de deux vecteurs. « Points coplanaires », « point dans le plan » ou « droite parallèle à un plan » : combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires.
Peut-on se fier à un dessin en perspective ?
Non. Le dessin sert à comprendre et à choisir des vecteurs, mais il ne prouve rien. Une intersection apparente peut être un simple effet de profondeur. Le programme insiste d'ailleurs sur le lien entre la perception de l'espace et les outils algébriques 1.
Que faut-il retenir pour le Bac ?
Le calcul vectoriel dans l'espace fait partie des items au programme de l'examen en spécialité 2. Entraîne-toi à décomposer des vecteurs dans un cube ou un tétraèdre avec Chasles, à trouver un coefficient k de colinéarité et des coefficients a, b de coplanarité, puis à rédiger la conclusion précisément.