Vecteurs, droites et plans de l'espace : exercices de Terminale

On décompose $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$ par Chasles.

Dans un cube, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}$, car ce sont des côtés opposés de faces carrées. Donc $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$.

Pour $\overrightarrow{EC}$, on écrit $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}$, puis $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Comme $\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE}$, on obtient $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$.

Les coefficients sont $1$, $1$ et $-1$ ; leur somme vaut $1+1-1=1$.

On cherche $k$ avec la première coordonnée : $2k=-3$, donc $k=-\dfrac{3}{2}$.

On vérifie la deuxième coordonnée : $-4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=6$. C'est bien la deuxième coordonnée de $\vec{v}$.

On vérifie la troisième : $6\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-9$. C'est aussi la bonne valeur.

Le même $k$ convient pour les trois coordonnées, donc $\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{u}$.

On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1\\6-2\\7-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$.

On calcule $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-1\\12-2\\13-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\10\\10\end{pmatrix}$.

Avec la première coordonnée, $2k=5$, donc $k=\dfrac{5}{2}$.

On vérifie : $4\times\dfrac{5}{2}=10$ pour la deuxième et pour la troisième coordonnée.

Les deux vecteurs partent du même point $A$ et sont colinéaires : les points sont sur une même droite.

L'égalité $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ donne le système $\begin{cases}a+2b=5\\ b=1\\ 2a-b=5\end{cases}$.

La deuxième équation donne directement $b=1$.

Dans la première, $a+2=5$, donc $a=3$.

On contrôle avec la troisième équation : $2\times3-1=5$. Elle est vérifiée.

Donc $\vec{w}=3\vec{u}+\vec{v}$ et $a+b=3+1=4$.

Si $\vec{v}=k\vec{u}$, la première coordonnée donnerait $0=k\times1$, donc $k=0$ et $\vec{v}$ serait le vecteur nul. Or ce n'est pas le cas : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

L'égalité $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ s'écrit $\begin{cases}\alpha=3\\ \beta=2\\ \alpha+\beta=5\end{cases}$.

Les deux premières équations donnent $\alpha=3$ et $\beta=2$.

La troisième est vérifiée : $3+2=5$.

Le produit vaut $\alpha\beta=3\times2=6$.

Comme $\vec{w}=3\vec{u}+2\vec{v}$, le vecteur $\vec{w}$ est dans le plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

On calcule $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}3\\6\\6\end{pmatrix}$.

Avec la première coordonnée, $2k=3$, donc $k=\dfrac{3}{2}$.

On vérifie : $4\times\dfrac{3}{2}=6$ pour les deux autres coordonnées. Donc $\overrightarrow{CD}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ et les droites sont parallèles.

Pour savoir si elles sont confondues, on calcule $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$.

Si $\overrightarrow{AC}=t\,\overrightarrow{AB}$, la première coordonnée donnerait $t=\dfrac{1}{2}$, mais la deuxième donnerait $4t=-1$, soit $t=-\dfrac{1}{4}$ : contradiction.

Donc $C$ n'appartient pas à $(AB)$ : les droites sont parallèles et distinctes.

On écrit $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$, soit $\begin{cases}\alpha=2\\ 2\alpha+\beta=m\\ \beta=3\end{cases}$.

La première équation donne $\alpha=2$ et la troisième donne $\beta=3$.

La deuxième équation impose alors $m=2\times2+3=7$.

Réciproquement, pour $m=7$, on a $\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

Pour $m=0$, les équations $\alpha=2$ et $\beta=3$ restent obligatoires, mais la deuxième exigerait $2\times2+3=0$, ce qui est faux.

Aucun couple $(\alpha\,;\,\beta)$ ne convient : $\vec{w}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Par Chasles, $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}$.

Toujours par Chasles, en passant par $B$ et $D$ : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}$.

On additionne les deux égalités : $2\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ})$.

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Comme $J$ est le milieu de $[CD]$, $\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec{0}$.

Il reste $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$, soit $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.

Cette égalité exprime $\overrightarrow{IJ}$ comme combinaison linéaire de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ : les trois vecteurs sont coplanaires.

Si $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ étaient colinéaires, les droites $(AC)$ et $(BD)$ seraient parallèles, donc contenues dans un même plan. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ seraient alors coplanaires, ce qui est impossible pour un tétraèdre.