Développer et factoriser : cours de Seconde

Depuis le collège, tu calcules avec des lettres : $3x+2$, $5a-7b$, $(x+1)(x-4)$. En Seconde, on te demande de les manipuler avec aisance, parce que presque tout le reste du programme d'algèbre en dépend : résoudre une équation, étudier le signe d'une expression, simplifier une fraction, travailler sur les fonctions.

Une même quantité peut s'écrire de plusieurs façons. Par exemple, $2x+6$ et $2(x+3)$ désignent exactement le même nombre, quelle que soit la valeur de $x$. Mais selon ce que tu cherches, une écriture est plus pratique que l'autre. Pour calculer la valeur de l'expression pour un $x$ donné, la forme qui convient dépend de l'expression ; pour résoudre une équation du type « produit égal à zéro », il faut un produit ; pour additionner ou réduire des expressions, il faut une somme.

Développer et factoriser sont les deux gestes qui permettent de passer d'une écriture à l'autre.

Tout part d'une propriété que tu connais : multiplier un nombre par une somme revient à multiplier ce nombre par chaque terme, puis à additionner les résultats. Prenons un calcul concret : $3\times(49+5)$.¹ D'un côté, $49+5=54$ et $3\times 54=162$. De l'autre, $3\times 49=147$ et $3\times 5=15$, et $147+15=162$. Les deux chemins donnent le même résultat.

Cette égalité se lit dans les deux sens, et c'est tout l'enjeu du chapitre :

• de gauche à droite, tu développes : $k(a+b)\to ka+kb$ ;
• de droite à gauche, tu factorises : $ka+kb\to k(a+b)$. On reconnaît ici une somme de la forme $k\times a+k\times b$, où $k$ est le facteur commun.¹

Développer avec une seule parenthèse consiste à appliquer la distributivité simple. Avec des lettres, on garde exactement le même mécanisme, mais il faut être très attentif aux signes et aux puissances.

Un test numérique est d'ailleurs un excellent réflexe de contrôle. Remplace $x$ par une petite valeur (comme $1$ ou $2$) dans l'expression de départ et dans le résultat : si les deux valeurs diffèrent, tu t'es trompé. Attention, l'inverse n'est pas une preuve : deux expressions fausses peuvent coïncider pour une valeur particulière, donc teste idéalement avec deux valeurs.

Que faire quand deux parenthèses se multiplient, comme $(x+2)(x+5)$ ? On applique la distributivité deux fois : on distribue la première parenthèse sur chaque terme de la seconde.

Factoriser est l'opération inverse. Elle est plus délicate que développer : développer suit des règles mécaniques, alors que factoriser demande de repérer ce que les termes ont en commun.¹ C'est un geste d'observation avant d'être un geste de calcul.

Le facteur commun n'est pas forcément un nombre ou une lettre : cela peut être une parenthèse entière. Le principe ne change pas. On traite alors la parenthèse comme un bloc, un peu comme si c'était une seule lettre.

Comme développer et factoriser sont inverses, tu disposes d'un outil de contrôle imparable : après avoir factorisé, redéveloppe ; tu dois retrouver l'expression de départ. Et après avoir développé, factorise le résultat si tu le peux. Ce va-et-vient est la meilleure façon de t'assurer que tu n'as pas fait d'erreur de signe.

Cette alternance prépare le chapitre suivant. Les identités remarquables sont des cas particuliers de développement qu'il faut savoir utiliser dans les deux sens.¹ Un aperçu : en développant $(x+3)(x+3)$, on obtient $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$. Ce résultat et d'autres du même type seront mis en forme dans le cours dédié.

Tu retrouveras aussi ces gestes dans les équations produit nul : pour résoudre $x^2-5x=0$, on factorise en $x(x-5)=0$, ce qui permet de conclure que $x=0$ ou $x=5$. Et dans les inéquations du premier degré, où l'on simplifie des expressions avant d'étudier leur signe.