Développer et factoriser : exercices corrigés de seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Développer, c'est transformer un produit en somme : $k(a+b)=ka+kb$ et $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .
Factoriser, c'est transformer une somme en produit : on repère un facteur commun et on le sort : $ka+kb=k(a+b)$ .
Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière.
Contrôle toujours ton résultat : redéveloppe une factorisation, ou remplace $x$ par une valeur simple dans les deux formes.
Attention aux signes : un « moins » devant une parenthèse change tous les signes à l'intérieur.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices sont classés par difficulté croissante. Les premiers reposent sur la distributivité simple, que tu connais depuis le collège. Les derniers demandent de repérer un facteur commun qui est lui-même une parenthèse, ou de combiner développement et factorisation. Cherche toujours seul avant d'ouvrir les indices, puis compare ta démarche avec la correction étape par étape, pas seulement le résultat final.

Réflexes de contrôle et organisation de ton travail

Un bon calcul littéral ne se résume pas à un résultat : il se vérifie. Avant de passer à l'exercice suivant, prends l'habitude de t'arrêter trente secondes pour contrôler ce que tu viens d'écrire. Ce petit temps évite de reporter une erreur de signe dans toute la suite d'un problème.

Pour la factorisation, le contrôle le plus sûr reste de redévelopper. Si $2x(2x-5)$ devient bien $4x^2-10x$ , c'est gagné. Si tu hésites entre deux facteurs communs, choisis toujours le plus grand : sortir seulement $x$ de $4x^2-10x$ donne $x(4x-10)$ , qui n'est pas fausse mais pas terminée, car il reste le facteur $2$ à sortir de la parenthèse.

Les exercices

Exercice 1 Calcul malin avec un facteur commun

★☆☆Environ 4 min

Calcule de tête, sans poser d'opération longue : $A = 3\times 49 + 3\times 51$ .

Indice 1

Quel nombre apparaît dans les deux produits ?

Indice 2

Mets-le en facteur, puis calcule la somme entre parenthèses.

Voir la correction pas à pas

On repère le facteur commun : le nombre $3$ apparaît dans les deux produits.
On factorise : $A = 3\times(49+51)$ .
On calcule la somme dans la parenthèse : $49+51=100$ .
On multiplie : $A = 3\times 100 = 300$ .

Factoriser a simplifié le calcul : la somme $49+51$ donne un nombre rond. C'est l'intérêt pratique de la factorisation en calcul numérique.

Exercice 2 Développer une expression simple

★☆☆Environ 4 min

Développe et réduis : $B = 4(x+7)$ puis $C = -2(3x-5)$ .

Indice 1

Multiplie le facteur placé devant par chaque terme de la parenthèse.

Indice 2

Pour $C$ , fais attention au signe : $-2\times(-5)$ .

Voir la correction pas à pas

Pour $B$ : $4\times x + 4\times 7$ .
Donc $B = 4x+28$ .
Pour $C$ : $-2\times 3x = -6x$ .
Puis $-2\times(-5)=+10$ (moins par moins donne plus).
Donc $C = -6x+10$ .

On obtient $B=4x+28$ et $C=-6x+10$ . Un facteur négatif change le signe de chaque terme de la parenthèse.

Exercice 3 Double distributivité

★★☆Environ 8 min

Développe, réduis et ordonne : $D=(2x+3)(x-4)$ .

Indice 1

Il y a quatre produits à écrire : chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.

Indice 2

Regroupe ensuite les termes en $x$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit les quatre produits : $D = 2x\times x + 2x\times(-4) + 3\times x + 3\times(-4)$ .
On calcule chaque produit : $D = 2x^2 - 8x + 3x - 12$ .
On réduit les termes en $x$ : $-8x+3x=-5x$ .
On obtient $D = 2x^2-5x-12$ .

Le résultat est $D=2x^2-5x-12$ . Pour contrôler, remplace $x$ par $1$ : $(2+3)(1-4)=-15$ et $2-5-12=-15$ . Les deux formes coïncident.

Exercice 4 Vérifier un développement par une valeur

★★☆Environ 6 min

On reprend $D=(2x+3)(x-4)=2x^2-5x-12$ . Calcule la valeur de $D$ pour $x=3$ avec la forme développée, puis vérifie avec la forme factorisée.

Indice 1

Remplace $x$ par $3$ dans chaque forme.

Indice 2

Les deux résultats doivent être identiques ; sinon, il y a une erreur.

Voir la correction pas à pas

Forme développée : $2\times 3^2 - 5\times 3 - 12$ .
On calcule : $2\times 9 = 18$ , puis $18-15=3$ , puis $3-12=-9$ .
Forme factorisée : $(2\times 3+3)(3-4)=9\times(-1)$ .
On obtient aussi $-9$ .

Les deux formes donnent $-9$ pour $x=3$ : le développement est cohérent. Cette vérification ne prouve pas l'égalité pour tout $x$ , mais elle détecte la plupart des erreurs de signe.

Exercice 5 Factoriser avec un facteur commun littéral

★★☆Environ 6 min

Factorise : $E = 6x+12$ et $F = 4x^2-10x$ .

Indice 1

Cherche le plus grand nombre qui divise les deux coefficients.

Indice 2

Pour $F$ , regarde aussi la lettre : que partagent $x^2$ et $x$ ?

Voir la correction pas à pas

Pour $E$ : $6$ et $12$ sont tous deux multiples de $6$ . On écrit $6x+12=6\times x+6\times 2$ .
Donc $E=6(x+2)$ .
Pour $F$ : les coefficients $4$ et $10$ ont pour diviseur commun $2$ , et $x^2$ et $x$ contiennent $x$ .
Le facteur commun est $2x$ : $4x^2=2x\times 2x$ et $10x=2x\times 5$ .
Donc $F=2x(2x-5)$ .

On a $E=6(x+2)$ et $F=2x(2x-5)$ . Redéveloppe pour contrôler : $2x\times 2x-2x\times 5=4x^2-10x$ .

Exercice 6 Aire d'un rectangle

★★☆Environ 8 min

Un rectangle a pour longueur $(2x-1)$ cm et pour largeur $(x+5)$ cm, avec $x>1$ . Exprime son aire sous forme développée, puis calcule-la pour $x=4$ .

Indice 1

L'aire d'un rectangle est longueur $\times$ largeur.

Indice 2

Développe, puis remplace $x$ par $4$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit l'aire : $\mathcal{A}=(2x-1)(x+5)$ .
On développe : $2x\times x+2x\times 5-1\times x-1\times 5$ .
On calcule : $2x^2+10x-x-5$ .
On réduit : $\mathcal{A}=2x^2+9x-5$ .
Pour $x=4$ : $2\times 16+9\times 4-5=32+36-5=63$ .
Contrôle avec la forme factorisée : $(2\times 4-1)(4+5)=7\times 9=63$ .

L'aire vaut $2x^2+9x-5$ cm², soit $63$ cm² pour $x=4$ . Les deux formes donnent le même nombre, ce qui valide le calcul.

Exercice 7 Facteur commun entre parenthèses

★★★Environ 10 min

Factorise : $G=(x+1)(2x-3)+(x+1)(x+4)$ .

Indice 1

Repère ce qui est écrit dans les deux termes de la somme.

Indice 2

Le facteur commun est une parenthèse entière.

Voir la correction pas à pas

On repère que $(x+1)$ apparaît dans chacun des deux termes.
On le met en facteur : $G=(x+1)\big[(2x-3)+(x+4)\big]$ .
On réduit le crochet : $2x-3+x+4=3x+1$ .
On obtient $G=(x+1)(3x+1)$ .

$G=(x+1)(3x+1)$ . Contrôle en développant : $3x^2+x+3x+1=3x^2+4x+1$ , et $(x+1)(2x-3)+(x+1)(x+4)=2x^2-x-3+x^2+5x+4=3x^2+4x+1$ . Les deux coïncident.

Exercice 8 Facteur commun avec un signe moins

★★★Environ 12 min

Factorise : $H=3(x-2)-(x-2)(x+4)$ .

Indice 1

Le facteur commun est $(x-2)$ .

Indice 2

Le second terme est précédé d'un signe moins : il faut distribuer ce signe sur toute la parenthèse $(x+4)$ .

Voir la correction pas à pas

On repère le facteur commun $(x-2)$ : il est dans $3(x-2)$ et dans $(x-2)(x+4)$ .
On le met en facteur : $H=(x-2)\big[3-(x+4)\big]$ .
On enlève la parenthèse intérieure en changeant les signes : $3-x-4$ .
On réduit : $3-4=-1$ , donc le crochet vaut $-x-1$ .
On obtient $H=(x-2)(-x-1)$ , soit $H=-(x-2)(x+1)$ .

$H=-(x-2)(x+1)$ . Pour $x=0$ : l'expression de départ vaut $3\times(-2)-(-2)\times 4=-6+8=2$ , et la forme finale $-(-2)(1)=2$ . L'erreur classique serait d'écrire $3-x+4$ en oubliant de changer le signe de $4$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?

Regarde la forme de l'expression. Si tu vois un produit (des parenthèses multipliées) et que l'énoncé demande une somme, tu développes. Si tu vois une somme et que tu veux obtenir un produit, tu factorises. Développer reste une application directe de la distributivité, alors que factoriser demande de repérer un facteur commun, ce qui est plus délicat.¹

Comment vérifier que ma factorisation est juste ?

Redéveloppe ton résultat : tu dois retrouver exactement l'expression de départ. Autre contrôle rapide : choisis une valeur simple pour $x$ (par exemple $0$ , $1$ ou $2$ ) et calcule les deux formes ; si les nombres diffèrent, une des deux est fausse.

Que faire si je ne vois aucun facteur commun ?

Regarde d'abord les coefficients (un diviseur commun ?), puis les lettres (une puissance commune de $x$ ?), puis si une parenthèse se répète. Parfois, il faut transformer un terme pour faire apparaître la parenthèse, par exemple écrire $-(x-2)$ à la place de $2-x$ en changeant les signes. Si rien ne marche, l'expression n'est peut-être pas factorisable avec ces méthodes : les identités remarquables, vues dans un chapitre à part et utilisables dans les deux sens, donneront d'autres outils.¹

Sources

Tests de positionnement - Classe de seconde - Distributivité, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources pour le calcul littéral en seconde, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources complémentaires - Identités remarquables, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Mathadoc Sesamath - Développement et factorisation, Sesamath. Consulté le 9 novembre 2026.

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Exercice 1 Calcul malin avec un facteur commun

Exercice 2 Développer une expression simple

Exercice 3 Double distributivité

Exercice 4 Vérifier un développement par une valeur

Exercice 5 Factoriser avec un facteur commun littéral

Exercice 6 Aire d'un rectangle

Exercice 7 Facteur commun entre parenthèses

Exercice 8 Facteur commun avec un signe moins

Les questions qu'on se pose

Sources

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Supérieur