Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Étudier le signe d'une fonction, c'est dire pour quels réels x on a f(x)>0, f(x)=0 ou f(x)<0 ; on le lit sur la courbe (au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses).
Une fonction affine f(x)=ax+b avec a=0 s'annule une seule fois, en x=−ab, et change de signe à cet endroit 3 ; son signe dépend du signe de a et de cette valeur 5.
Si a>0 : négative puis positive ; si a<0 : positive puis négative. Si a=0, la fonction est constante et son signe aussi 5.
Pour un produit ou un quotient, on dresse un tableau de signes : une ligne par facteur, une ligne finale où l'on applique la règle des signes ; le dénominateur nul est une valeur interdite (double barre).
Le tableau de signes sert à résoudre les inéquations f(x)≥0 ou f(x)<0 : on lit les intervalles solutions en regardant bien les crochets.
Ce que signifie « étudier le signe d'une fonction »
Quand on te donne une fonction f, on te demande souvent beaucoup plus que de calculer une image. Une question très courante est : « pour quelles valeurs de x le nombre f(x) est-il positif ? négatif ? nul ? ». Répondre à cette question, c'est étudier le signe de f.
Cette étude sert partout : résoudre une inéquation, savoir quand une quantité est un gain ou une perte, comparer deux expressions, ou placer une courbe par rapport à l'axe des abscisses. Le programme de seconde fait notamment le lien entre le signe de ax+b et la fonction affine 1.
Dans ce cours, tu vas voir comment lire un signe sur une courbe, comment le calculer pour une fonction affine, puis comment le combiner pour des produits et des quotients grâce au tableau de signes.
Lire le signe d'une fonction sur sa courbe
Sur un graphique, le signe se lit sans calcul. Le point d'abscisse x de la courbe Cf a pour ordonnée f(x). Le signe de f(x) est donc le signe de l'ordonnée de ce point.
Droite représentant f(x) = 2x − 4 · La droite coupe l'axe des abscisses en x = 2 : f est négative avant, positive après.
Le signe d'une fonction affine
Une fonction affine s'écrit f(x)=ax+b avec a et b réels. Son signe est la brique de base de tout le chapitre : produits et quotients se ramèneront à elle.
Démonstration · Démonstration du signe de $ax+b$
Supposons a=0. On résout l'inéquation ax+b>0.
ax+b>0⟺ax>−b.
Si a>0, on divise les deux membres par a sans changer le sens de l'inégalité : x>−ab.
Si a<0, on divise par un nombre négatif, ce qui renverse l'inégalité : x<−ab.
L'égalité ax+b=0 équivaut à x=−ab. En regroupant les trois cas (>0, =0, <0), on obtient exactement le tableau annoncé.
Signe de ax + b selon le signe de a
Cas
x < −b/a
x = −b/a
x > −b/a
a > 0
−
0
+
a < 0
+
0
−
Signe de ax + b selon le signe de a · Le signe de a donne le signe à droite de la valeur d'annulation.
Dresser un tableau de signes
Le tableau de signes résume le signe d'une expression sur tout son ensemble de définition. Pour une fonction affine, il comporte deux lignes : sur la première, on indique les bornes du domaine de définition ; sur la seconde, on inscrit le signe de la fonction dans les cases correspondantes 3.
AnnulationsCalcule la valeur de x qui annule chaque facteur.
Première ligneRange ces valeurs dans l'ordre croissant.
Une ligne par facteurUtilise le signe de a, à droite de l'annulation.
Dernière ligneApplique la règle des signes colonne par colonne.
Dresser un tableau de signes · Les quatre étapes à suivre dans cet ordre.
Le signe d'un produit de fonctions affines
Quand une expression est un produit comme (x−2)(5−x), tu ne peux pas la traiter directement. On étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on applique la règle des signes d'un produit. Ce type de question fait l'objet d'une méthode dédiée dans les manuels de seconde, avec deux facteurs affines 3.
Le signe d'un quotient
Un quotient D(x)N(x) suit la même règle des signes qu'un produit : même signe, résultat positif ; signes contraires, résultat négatif. La différence essentielle tient au dénominateur : il ne peut jamais valoir zéro. Avant de dresser le tableau, tu dois donc chercher le domaine de définition de la fonction. Les manuels de seconde posent d'ailleurs cette question avant de se demander si l'on peut réutiliser un tableau de signes pour un quotient 3.
Résoudre une inéquation avec un tableau de signes
L'étude du signe est l'outil principal pour résoudre des inéquations. L'idée : amener tous les termes d'un seul côté pour comparer à 0, factoriser ou mettre au même dénominateur, puis lire le tableau.
Les erreurs à éviter et les réflexes de contrôle
Exercices corrigés
Exercice 1 Signe d'une fonction affine
★☆☆Environ 8 min
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=3x−12.
Détermine la valeur de x pour laquelle f(x)=0.
Dresse le tableau de signes de f.
Résous f(x)>0.
Indice 1
Résous l'équation 3x−12=0.
Indice 2
Le signe de f à droite de la valeur d'annulation est celui du coefficient de x.
Voir la correction pas à pas
On résout 3x−12=0 : 3x=12, donc x=4.
Le coefficient directeur est a=3>0 : f est négative pour x<4 et positive pour x>4.
Tableau : première ligne −∞, 4, +∞ ; seconde ligne −, puis 0 en 4, puis +.
Vérification : f(0)=−12<0 et f(5)=3>0.
Pour f(x)>0 strictement, on lit x>4 : S=]4;+∞[.
La fonction f s'annule en 4 ; elle est strictement positive sur ]4;+∞[ et strictement négative sur ]−∞;4[.
Exercice 2 Combien d'entiers rendent un produit positif ?
★★☆Environ 12 min
On considère P(x)=(x−2)(5−x).
Dresse le tableau de signes de P.
Résous P(x)>0.
Combien d'entiers relatifs n vérifient P(n)>0 ?
Indice 1
Les valeurs d'annulation des deux facteurs sont 2 et 5.
Indice 2
Le facteur 5−x a un coefficient directeur négatif : il est positif avant 5.
Voir la correction pas à pas
Le facteur x−2 s'annule en 2 ; son coefficient 1 est positif : − avant 2, + après.
Le facteur 5−x s'annule en 5 ; son coefficient −1 est négatif : + avant 5, − après.
On range 2 puis 5 sur la première ligne et on applique la règle des signes : P est − sur ]−∞;2[, 0 en 2, + sur ]2;5[, 0 en 5, − sur ]5;+∞[.
Donc P(x)>0 équivaut à x∈]2;5[.
Les entiers strictement compris entre 2 et 5 sont 3 et 4 : il y en a 2.
P(x)>0 sur ]2;5[, et seuls les entiers 3 et 4 conviennent : cela fait 2 entiers.
Exercice 3 Inéquation avec un quotient
★★★Environ 15 min
Résous dans R l'inéquation 4−x2x+6≥0 et donne la réponse sous forme d'intervalle.
Indice 1
Commence par chercher la valeur qui annule le dénominateur.
Indice 2
Dans la colonne de la valeur interdite, on trace une double barre.
Voir la correction pas à pas
Le dénominateur 4−x s'annule en 4 : la valeur 4 est interdite.
Le numérateur 2x+6 s'annule en −3 ; son coefficient 2 est positif : − avant −3, + après.
Le dénominateur 4−x a un coefficient −1 négatif : + avant 4, − après.
Dernière ligne : sur ]−∞;−3[ on a − divisé par +, soit − ; en −3 on a 0 ; sur ]−3;4[, + divisé par +, soit + ; en 4, une double barre ; sur ]4;+∞[, + divisé par −, soit −.
L'inégalité est large : on garde le zéro −3 et on exclut la valeur interdite 4. S=[−3;4[.
L'ensemble solution est S=[−3;4[ : crochet fermé en −3 car le quotient s'y annule, crochet ouvert en 4 car il n'y est pas défini.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La fonction s'annule en 3 car 2x−6=0 donne x=3. Le coefficient 2 est positif, donc la fonction est positive à droite de 3. La réponse x<3 inverse les côtés ; −3 vient d'une erreur de signe dans le calcul de −ab (ici −2−6=3).
On a −3x+9=0 pour x=3. Le coefficient −3 est négatif : g est positive avant 3 et négative après. Choisir ]3;+∞[ revient à mettre le signe + à droite de la valeur d'annulation, ce qui n'est vrai que si a>0.
Une fonction constante garde le même signe partout, celui de sa valeur : ici −4<0. L'idée qu'elle change de signe ne vaut que pour une fonction affine non constante (a=0).
On résout 4x−10=0, d'où x=410=2,5. Écrire −2,5 vient d'un oubli du changement de côté du terme −10.
Sur ]−1;3[, le facteur x+1 est positif et le facteur x−3 est négatif. Deux signes contraires donnent un produit négatif. Le test x=0 confirme : (1)(−3)=−3<0. Le produit ne change pas de signe à l'intérieur de l'intervalle, donc la réponse « cela dépend » est fausse.
En x=2, le dénominateur est nul : le quotient n'est pas défini, donc il ne peut pas valoir 0. De plus, le numérateur vaut toujours 1, il ne s'annule jamais. On met une double barre dans le tableau.
Le quotient est positif ou nul sur [−3;4[ : le zéro −3 est inclus (inégalité large), et 4 est exclu (valeur interdite). Le premier choix inclut à tort 4 ; le troisième exclut à tort −3 ; le dernier donne l'ensemble où le quotient est négatif.
Les questions qu'on se pose
Zéro est-il positif ou négatif ?
Il est les deux à la fois : un nombre est positif s'il est supérieur ou égal à zéro, et négatif s'il est inférieur ou égal à zéro 5. C'est pourquoi on précise « strictement » quand on veut exclure 0. Dans un énoncé, regarde bien si l'inégalité est large (≥) ou stricte (>).
Comment savoir si je dois mettre un crochet ouvert ou fermé ?
Regarde l'inégalité. Avec > ou <, les zéros ne sont pas solutions : crochet ouvert. Avec ≥ ou ≤, les zéros sont solutions : crochet fermé, sauf si la valeur est interdite (dénominateur nul), où le crochet reste toujours ouvert. Les infinis ont toujours un crochet ouvert.
Pourquoi le signe d'une fonction affine ne change-t-il qu'une fois ?
Une fonction affine non constante (a=0) ne s'annule qu'en une seule valeur, −ab, et change de signe à cet endroit 3. Sa droite coupe donc l'axe des abscisses une seule fois : elle est d'un côté avant ce point et de l'autre après. Si a=0, la fonction est constante et ne change jamais de signe 5.
Quelle est la différence entre le signe d'une fonction et son sens de variation ?
Le sens de variation dit si la courbe monte ou descend. Le signe dit si elle est au-dessus ou au-dessous de l'axe des abscisses. Une fonction peut être croissante et négative, ou décroissante et positive. Pour les confondre le moins possible, demande-toi : « je regarde la hauteur de la courbe (signe) ou sa pente (variations) ? »
Pourquoi ne faut-il pas développer un produit avant d'étudier son signe ?
Parce que la forme factorisée est celle qui permet le tableau de signes : chaque facteur affine se traite avec la règle du signe de ax+b. Une fois développé, le produit devient un polynôme dont le signe n'est pas lisible avec les outils de seconde. Si on te donne une forme développée, cherche d'abord à factoriser.
Que faire quand la fonction à étudier n'est ni affine, ni un produit, ni un quotient d'affines ?
Cherche à la transformer : factorisation, mise au même dénominateur, identité remarquable, ou comparaison de deux fonctions en étudiant f(x)−g(x). Si tu connais sa courbe (carré, inverse, valeur absolue), lis directement son signe. Si rien ne marche, une calculatrice graphique donne une conjecture, qu'il faut ensuite justifier.