Signe d'une fonction : exercices corrigés de Seconde

On résout $2x - 6 = 0$, soit $2x = 6$, donc $x = 3$. La fonction s'annule en $3$.

Le coefficient directeur $a = 2$ est strictement positif : $f$ est négative à gauche de $3$ et positive à droite.

Tableau de signes : sur la ligne de $x$ on écrit $-\infty$, $3$, $+\infty$ ; sur la ligne de $f(x)$ on écrit $-$, puis $0$ sous le $3$, puis $+$.

On lit : $f(x) < 0$ lorsque $x \in\,]-\infty\,;\,3[$.

On résout $-3x + 12 = 0$, soit $-3x = -12$, donc $x = 4$.

Le coefficient $a = -3$ est strictement négatif : $g$ est positive à gauche de $4$ et négative à droite.

Tableau de signes : ligne de $x$ : $-\infty$, $4$, $+\infty$ ; ligne de $g(x)$ : $+$, puis $0$ sous le $4$, puis $-$.

On cherche $g(x) \geq 0$ : cela correspond à la zone positive et au point d'annulation, donc $x \in\,]-\infty\,;\,4]$.

Le facteur $x - 2$ s'annule en $2$ ; le facteur $x + 5$ s'annule en $-5$. On ordonne : $-5 < 2$.

Ligne de $x - 2$ : coefficient $1 > 0$, donc $-$ avant $2$, $0$ en $2$, $+$ après.

Ligne de $x + 5$ : coefficient $1 > 0$, donc $-$ avant $-5$, $0$ en $-5$, $+$ après.

Ligne de $h(x)$, colonne par colonne : sur $]-\infty\,;\,-5[$ : $(-)\times(-) = +$ ; en $-5$ : $0$ ; sur $]-5\,;\,2[$ : $(-)\times(+) = -$ ; en $2$ : $0$ ; sur $]2\,;\,+\infty[$ : $(+)\times(+) = +$.

On cherche $h(x) < 0$ : seule la colonne centrale est négative, donc $x \in\,]-5\,;\,2[$.

Le dénominateur $x + 3$ s'annule en $-3$ : cette valeur est interdite. L'ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Le numérateur $2x - 1$ s'annule en $\dfrac{1}{2}$ ; il a un coefficient $2 > 0$ : $-$ avant $\dfrac12$, $+$ après.

Le dénominateur $x + 3$ a un coefficient $1 > 0$ : $-$ avant $-3$, $+$ après.

Ligne du quotient, avec $-3 < \dfrac12$ : sur $]-\infty\,;\,-3[$ : $(-)/(-) = +$ ; en $-3$ : double barre ; sur $]-3\,;\,\dfrac12[$ : $(-)/(+) = -$ ; en $\dfrac12$ : $0$ ; sur $]\dfrac12\,;\,+\infty[$ : $(+)/(+) = +$.

On cherche $q(x) > 0$ : $x \in\,]-\infty\,;\,-3[\,\cup\,]\dfrac12\,;\,+\infty[$.

Le facteur $x + 1$ s'annule en $-1$ ; le facteur $3 - x$ s'annule en $3$.

Ligne de $x + 1$ ($a = 1 > 0$) : $-$ avant $-1$, $+$ après.

Ligne de $3 - x$ ($a = -1 < 0$) : $+$ avant $3$, $-$ après.

Ligne du produit : sur $]-\infty\,;\,-1[$ : $(-)\times(+) = -$ ; en $-1$ : $0$ ; sur $]-1\,;\,3[$ : $(+)\times(+) = +$ ; en $3$ : $0$ ; sur $]3\,;\,+\infty[$ : $(+)\times(-) = -$.

On veut un produit positif ou nul : l'ensemble des solutions est $[-1\,;\,3]$.

Les entiers de cet intervalle sont $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ : cela fait $5$ entiers.

Comme $4 = 2^2$, on a $k(x) = (x - 2)(x + 2)$.

Les facteurs s'annulent en $2$ et en $-2$ ; on ordonne $-2 < 2$.

Ligne de $x - 2$ : $-$ avant $2$, $+$ après. Ligne de $x + 2$ : $-$ avant $-2$, $+$ après.

Ligne de $k(x)$ : $+$ sur $]-\infty\,;\,-2[$, $0$ en $-2$, $-$ sur $]-2\,;\,2[$, $0$ en $2$, $+$ sur $]2\,;\,+\infty[$.

Pour $k(x) \leq 0$ : on prend la zone négative et les deux zéros, donc $x \in [-2\,;\,2]$.

Pour $x^2 + 1$ : un carré est toujours positif ou nul, donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. La fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$, sans tableau.

On résout $-2x + 60 = 0$, soit $x = 30$.

Le coefficient $a = -2$ est négatif : $B(x) > 0$ pour $x < 30$ et $B(x) < 0$ pour $x > 30$.

Tableau sur $[0\,;\,+\infty[$ : ligne de $x$ : $0$, $30$, $+\infty$ ; ligne de $B(x)$ : $+$, $0$ sous le $30$, $-$.

Interprétation : dans ce modèle simplifié, le bénéfice est positif tant que l'association vend moins de $30$ gâteaux, nul pour $30$ gâteaux, puis négatif au-delà.