Mathématiques expertes (option) · Terminale

Formules de Moivre et d'Euler : cours de Terminale expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Euler : pour tout réel $\theta$ , $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , donc $\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ .
Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ , pour tout entier relatif $n$ ; c'est la traduction de $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$ .
Pour une puissance : on passe en forme exponentielle $z=re^{i\theta}$ , puis $z^n=r^ne^{in\theta}$ ; le module est élevé à la puissance $n$ , l'argument est multiplié par $n$ .
Pour linéariser $\cos^p\theta$ ou $\sin^p\theta$ : on remplace par Euler, on développe avec le binôme, on regroupe les termes $e^{ik\theta}$ et $e^{-ik\theta}$ .
Pour exprimer $\cos(n\theta)$ ou $\sin(n\theta)$ avec $\cos\theta$ et $\sin\theta$ : on développe $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ et on identifie parties réelle et imaginaire.

Introduction : pourquoi ces deux formules vont ensemble

Tu connais déjà la forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul, $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , et sa forme exponentielle $z=re^{i\theta}$ . Dans ce cours, tu vas relier ces deux écritures et en tirer deux outils très efficaces : la formule d'Euler et la formule de Moivre.

Le programme de mathématiques expertes demande de savoir utiliser ces formules pour transformer des expressions, en particulier pour résoudre des problèmes. ¹ Concrètement, elles te serviront à trois choses :

calculer une puissance élevée d'un nombre complexe sans développer des dizaines de produits ;
exprimer $\cos(n\theta)$ ou $\sin(n\theta)$ à l'aide de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ ;
linéariser des expressions comme $\cos^3\theta$ , c'est-à-dire les écrire comme somme de termes de la forme $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$ , très pratiques pour calculer une primitive.

Un point d'histoire pour situer les choses. La forme courante de la formule de Moivre apparaît dans l'ouvrage d'Euler Introduction à l'analyse infinitésimale, où il la démontre pour tout entier naturel $n$ en 1748. ² Elle figure pourtant de façon implicite chez Abraham de Moivre dès 1707, dans ses travaux sur les racines $n$ -ièmes de nombres complexes. ² Quant à la formule d'Euler, c'est Euler qui l'a publiée sous sa forme actuelle en 1748. ³ Roger Cotes l'avait mise en évidence en 1714 sous une forme faisant intervenir le logarithme népérien. ³

Rappel : la notation exponentielle $e^{i\theta}$

Cette égalité $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ porte le nom de formule d'Euler. ² Elle est valable pour tout réel $\theta$ . ³ Dans la suite, on l'utilise dans les deux sens : tantôt on remplace $e^{i\theta}$ par $\cos\theta+i\sin\theta$ , tantôt on fait l'inverse.

Un calcul immédiat montre que $e^{i\theta}$ a pour module 1 : comme $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ , le nombre $\cos\theta+i\sin\theta$ est de module 1. ² Dans le plan complexe, les nombres de module 1 forment le cercle unité, de centre $O$ et de rayon 1. ² Le point $M$ d'affixe $e^{i\theta}$ est donc sur ce cercle, et l'angle orienté $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OM})$ mesure $\theta$ radians, où $I$ est le point d'affixe 1. ²

Démonstration · Pourquoi la relation fonctionnelle est vraie

On développe le produit :

$e^{ia}e^{ib}=(\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\sin a\cos b+\cos a\sin b).$

Les formules d'addition de la trigonométrie donnent $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ . Le produit vaut donc $\cos(a+b)+i\sin(a+b)=e^{i(a+b)}$ .

Les formules d'Euler pour le cosinus et le sinus

Démonstration · Démonstration

On part de $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . En remplaçant $\theta$ par $-\theta$ , et comme le cosinus est pair et le sinus impair, on obtient

$e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta.$

On additionne les deux égalités : $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ , d'où la première formule. On les soustrait : $e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$ , d'où la seconde.

La formule de Moivre

Avec la notation exponentielle, la formule de Moivre s'écrit de façon très naturelle :

$\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}.$

Elle se lit géométriquement. Le point $M$ d'affixe $z=\cos\theta+i\sin\theta$ est sur le cercle unité. Le nombre $z^n$ est l'affixe du point $N$ du cercle unité tel que l'angle $(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{ON})$ mesure $n\theta$ radians. ² Élever à la puissance $n$ , c'est donc multiplier l'angle par $n$ .

Démonstration · Démonstration directe avec l'exponentielle

On élève les deux membres de la formule d'Euler $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ à la puissance $n$ . ² Comme $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$ grâce à la relation fonctionnelle, on obtient

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=e^{in\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$

Cette démonstration est beaucoup plus rapide que la démonstration par récurrence. ²

Démonstration · Démonstration par récurrence (entiers naturels)

Notons $P(n)$ la propriété « $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ », pour $n\in\mathbb{N}$ .

Initialisation. Pour $n=0$ , le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite vaut $\cos 0+i\sin 0=1$ . $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $P(n)$ soit vraie. Alors

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))(\cos\theta+i\sin\theta).$

On développe et on applique les formules d'addition :

$=\big(\cos(n\theta)\cos\theta-\sin(n\theta)\sin\theta\big)+i\big(\sin(n\theta)\cos\theta+\cos(n\theta)\sin\theta\big)=\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta).$

Donc $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

Démonstration · Extension aux entiers négatifs

Soit $n$ un entier naturel. Le nombre $z=\cos\theta+i\sin\theta$ est de module 1, donc $\dfrac1z=\overline z=\cos\theta-i\sin\theta=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)$ . On a donc

$z^{-n}=\left(\frac1z\right)^n=\big(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\big)^n=\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta),$

en appliquant le cas des entiers naturels à l'angle $-\theta$ . La formule est donc vraie pour $-n$ .

Calculer une puissance d'un nombre complexe

Moivre brille quand tu dois calculer $z^n$ avec $n$ grand. Le module est un facteur : si $z=re^{i\theta}$ , alors $z^n=r^n\left(e^{i\theta}\right)^n=r^ne^{in\theta}$ . La formule se lit aussi ainsi : le module de $z^n$ est $r^n$ et un argument de $z^n$ est $n\theta$ . On retrouve l'idée que les formules de Moivre servent aux puissances $n$ -ièmes de nombres complexes sous forme trigonométrique. ²

ModuleCalculer r = |z|
Forme exponentielleÉcrire z = r e^(iθ)
Puissancez^n = r^n e^(inθ)
Angle simpleRetirer les multiples de 2π

Calculer une puissance avec Moivre · La démarche pour calculer z puissance n.

Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ avec Moivre

La formule de Moivre fonctionne dans les deux sens. On a vu qu'elle transforme $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ en $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ . Si on développe d'abord le membre de gauche avec le binôme de Newton, on obtient des expressions de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ . Le programme demande justement d'utiliser Moivre pour transformer des expressions. ¹

Linéariser avec les formules d'Euler

Récapitulatif et utilisation à l'examen

Les formules du chapitre
Formule	Écriture	Usage
Euler	e^(iθ) = cos θ + i sin θ	Passer de la forme trigonométrique à l'exponentielle
Euler (cos)	cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2	Linéariser cos^p
Euler (sin)	sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / 2i	Linéariser sin^p
Moivre	(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ	Puissances, cos nθ et sin nθ

Les formules du chapitre · Chaque formule et ce qu'elle permet.

Exercices corrigés

Exercice 1 Une puissance huitième

★☆☆Environ 6 min

Calcule $(1+i)^8$ .

Indice 1

Cherche le module et un argument de $1+i$ .

Indice 2

Applique $z^n=r^ne^{in\theta}$ avec $n=8$ .

Voir la correction pas à pas

Le module de $1+i$ est $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .
On écrit $1+i=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2\,e^{i\pi/4}$ .
On applique Moivre : $(1+i)^8=(\sqrt2)^8\,e^{8i\pi/4}=16\,e^{2i\pi}$ .
Comme $e^{2i\pi}=1$ , on obtient $(1+i)^8=16$ .

Le résultat est un réel : l'angle $8\times\frac{\pi}{4}=2\pi$ fait deux demi-tours exactement. Vérifie : $(1+i)^2=2i$ , donc $(1+i)^8=(2i)^4=16$ .

Exercice 2 Une puissance sixième avec un argument négatif

★★☆Environ 8 min

Calcule $\left(\sqrt3-i\right)^6$ .

Indice 1

Le module vaut $\sqrt{3+1}$ . L'argument est négatif : le point est dans le quatrième quadrant.

Indice 2

Un argument de $\sqrt3-i$ est $-\frac{\pi}{6}$ .

Voir la correction pas à pas

Le module est $\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2$ .
On factorise : $\sqrt3-i=2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=2e^{-i\pi/6}$ .
On applique Moivre : $\left(\sqrt3-i\right)^6=2^6e^{-6i\pi/6}=64e^{-i\pi}$ .
Comme $e^{-i\pi}=-1$ , le résultat est $-64$ .

Le module à la puissance 6 donne $2^6=64$ et l'angle $-\pi$ donne le signe moins. Pense toujours à placer le point dans le plan pour choisir le bon argument.

Exercice 3 Triplement de l'angle

★★☆Environ 10 min

Démontre que, pour tout réel $\theta$ , $\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ .
Calcule $\cos(3\theta)$ lorsque $\cos\theta=\dfrac12$ .

Indice 1

Développe $(\cos\theta+i\sin\theta)^3$ et identifie la partie réelle.

Indice 2

Remplace $\sin^2\theta$ par $1-\cos^2\theta$ .

Voir la correction pas à pas

Par Moivre, $\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)=(c+is)^3$ avec $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$ .
On développe : $(c+is)^3=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3$ .
La partie réelle donne $\cos(3\theta)=c^3-3cs^2$ .
On remplace $s^2=1-c^2$ : $\cos(3\theta)=c^3-3c+3c^3=4c^3-3c$ .
Pour $c=\frac12$ : $4\times\frac18-3\times\frac12=\frac12-\frac32=-1$ .

On obtient $\cos(3\theta)=-1$ . Cela correspond bien à $\theta=\frac{\pi}{3}$ , puisque $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ et $\cos\pi=-1$ .

Exercice 4 Linéariser $\cos^4\theta$

★★★Environ 12 min

Linéarise $\cos^4\theta$ , c'est-à-dire écris-le comme une combinaison de $\cos(4\theta)$ , $\cos(2\theta)$ et d'une constante.

Indice 1

Utilise $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et le binôme de Newton pour la puissance 4.

Indice 2

Les coefficients du binôme à l'ordre 4 sont 1, 4, 6, 4, 1.

Voir la correction pas à pas

On écrit $\cos^4\theta=\dfrac{\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4}{16}$ .
On développe : $\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^4=e^{4i\theta}+4e^{2i\theta}+6+4e^{-2i\theta}+e^{-4i\theta}$ .
On regroupe : $e^{4i\theta}+e^{-4i\theta}=2\cos(4\theta)$ et $4e^{2i\theta}+4e^{-2i\theta}=8\cos(2\theta)$ .
On obtient $\cos^4\theta=\dfrac{2\cos(4\theta)+8\cos(2\theta)+6}{16}=\dfrac{\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3}{8}$ .
Contrôle avec $\theta=0$ : à gauche $1$ , à droite $\frac{1+4+3}{8}=1$ .

Ainsi $\cos^4\theta=\dfrac{\cos(4\theta)+4\cos(2\theta)+3}{8}$ . Cette forme permet par exemple de trouver une primitive de $\cos^4$ sans effort.

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre la formule d'Euler et la formule de Moivre ?

La formule d'Euler définit l'exponentielle imaginaire : $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . ² Elle sert à changer d'écriture. La formule de Moivre concerne les puissances : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ . ¹ Avec la notation exponentielle, elle devient $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$ , ce qui la fait découler de la première. On peut d'ailleurs obtenir Moivre en élevant Euler à la puissance $n$ . ²

À quoi servent ces formules concrètement ?

Elles servent à calculer des puissances de complexes sans développer, à exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ avec $\cos\theta$ et $\sin\theta$ , et à linéariser des puissances de $\cos$ et de $\sin$ . Le programme demande de les utiliser pour transformer des expressions, en particulier pour résoudre des problèmes. ¹ La linéarisation est ensuite très utile pour calculer des primitives.

Comment savoir s'il faut utiliser Euler ou Moivre ?

Regarde ce que l'énoncé contient. Une puissance d'un nombre complexe, ou une expression $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ : Moivre. Une puissance de $\cos\theta$ ou de $\sin\theta$ à transformer en somme : Euler suivi du binôme de Newton. Pour exprimer $\cos(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ : Moivre, développement, puis identification des parties réelle et imaginaire.

La formule de Moivre est-elle valable pour des puissances négatives ?

Oui. Elle est vraie pour tout entier relatif $n$ . ² Pour un nombre de module 1, l'inverse est le conjugué : $\dfrac{1}{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta$ . Donc $\left(e^{i\theta}\right)^{-n}=e^{-in\theta}$ , ce qui est bien la formule avec $-n$ .

Pourquoi ne peut-on pas écrire $(\cos\theta)^n=\cos(n\theta)$ ?

Parce que la formule de Moivre porte sur le nombre complexe entier $\cos\theta+i\sin\theta$ , de module 1, dont l'argument est multiplié par $n$ . Le cosinus seul n'a pas cette propriété : $\cos^2\frac{\pi}{3}=\frac14$ alors que $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$ . Pour passer d'une puissance de cosinus à un cosinus d'angle multiple, il faut linéariser avec Euler, et il apparaît alors plusieurs termes.

Sources

Mathématiques expertes - Document officiel (Annexe 1), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Formule de Moivre, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Formule d'Euler, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Formules de Moivre et d'Euler : cours de Terminale expertes

L'essentiel

Introduction : pourquoi ces deux formules vont ensemble

Rappel : la notation exponentielle $e^{i\theta}$

Les formules d'Euler pour le cosinus et le sinus

La formule de Moivre

Calculer une puissance d'un nombre complexe

Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ avec Moivre

Linéariser avec les formules d'Euler

Récapitulatif et utilisation à l'examen

Exercices corrigés

Exercice 1 Une puissance huitième

Exercice 2 Une puissance sixième avec un argument négatif

Exercice 3 Triplement de l'angle

Exercice 4 Linéariser $\cos^4\theta$

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur