Pour calculer zn, passe en forme exponentielle : on élève le module à la puissance n et on multiplie l'argument par n.
Les formules d'Euler servent à transformer des expressions trigonométriques, par exemple pour linéariser 1.
Avant de commencer
Ce quiz couvre les deux formules du chapitre sur les nombres complexes : la formule de Moivre et les formules d'Euler. Elles figurent au programme de Mathématiques expertes, avec l'exponentielle imaginaire eiθ et la forme exponentielle 1. Tu y trouveras des questions de cours, des calculs de puissances, des transformations trigonométriques et quelques repères historiques.
Pour chaque question, cherche d'abord la réponse sur papier, puis valide. Si tu te trompes, lis l'explication : elle précise aussi pourquoi l'erreur tentante est fausse.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La formule de Moivre transforme la puissance n en une multiplication de l'angle par n1. La deuxième réponse est la tentation habituelle : mettre l'exposant sur chaque terme, comme si (a+b)n=an+bn, ce qui est faux en général. La troisième confond puissance et multiplication. La quatrième met l'exposant sur l'angle au lieu de multiplier.
Avec Moivre, on obtient cos63π+isin63π=cos2π+isin2π=0+i=i1. La réponse 23+2i est le nombre de départ : elle revient à oublier d'élever à la puissance. La réponse −1 viendrait d'un angle π, c'est-à-dire d'une puissance 6.
D'après Moivre, le nombre vaut cosπ+isinπ=−1+0i1. La partie réelle est donc −1. Répondre 1 revient à croire que l'angle 8×8π vaut 2π ; or il vaut π.
La formule est énoncée pour tout entier relatif n2. Par exemple, pour n=−1 : (cosθ+isinθ)−1=cosθ−isinθ=cos(−θ)+isin(−θ), ce qui est bien l'inverse d'un complexe de module 1. Penser qu'elle ne concerne que les entiers naturels est une restriction inutile.
Le cosinus est la demi-somme de eiθ et de e−iθ1. Les deux réponses avec un signe moins sont celles du sinus, avec ou sans le i du dénominateur. Une somme divisée par 2i donnerait un nombre imaginaire pur, alors que cosθ est réel.
Le sinus s'écrit 2ieiθ−e−iθ1. Sans le i au dénominateur, le résultat serait imaginaire pur alors que sinθ est réel. Avec les exponentielles inversées, on obtient −sinθ. Une somme au numérateur redonne le cosinus (à un facteur i près).
Son module vaut cos2θ+sin2θ=1 : le point d'affixe cosθ+isinθ est sur le cercle unité 2. Il en va de même pour eiθ, qui lui est égal d'après la formule d'Euler 3. Dire que le module dépend de θ vient d'une confusion avec l'argument.
On écrit 1+i=2eiπ/4 (module 2, argument 4π). Alors (1+i)8=(2)8ei2π=16×1=16. L'erreur fréquente consiste à oublier d'élever le module : on trouverait 1. Une autre erreur est de prendre 28=8 au lieu de 16.
On a 3+i=2eiπ/6. Donc (3+i)6=26eiπ=64×(−1)=−64. Trouver 64 vient d'un oubli du changement de signe : l'argument devient 6×6π=π, pas 2π. Trouver −12 vient de 2×6 au lieu de 26 pour le module.
La formule de Moivre donne la première égalité 1. Avec la formule d'Euler eiθ=cosθ+isinθ3, on a e3iθ et (eiθ)3, qui sont égaux par la règle (ea)n=ena. Le dernier choix multiplie le nombre par 3 : son module vaut 3 au lieu de 1.
Les formules d'Euler servent justement à transformer des expressions trigonométriques 1. On développe : 4e2iθ+2+e−2iθ=42+2cos(2θ)=21+cos(2θ). La deuxième réponse est celle de sin2θ. La troisième oublie que eiθ n'est que le premier terme de la demi-somme.
La partie réelle du développement est cos3θ−3cosθsin2θ. Avec sin2θ=1−cos2θ, cela donne cos3θ−3cosθ+3cos3θ=4cos3θ−3cosθ1. La deuxième réponse est l'opposée, par inversion des termes. On peut vérifier avec θ=0 : 4−3=1=cos0 convient, alors que la deuxième donne −1.
La formule de Moivre affirme que zn est l'affixe du point du cercle unité dont l'angle avec l'axe des réels mesure nθ radians 2. Le module de zn reste 1n=1, ce qui exclut un cercle de rayon n. L'angle est multiplié par n, pas élevé à la puissance n.
Roger Cotes a écrit en 1714 la relation ln(cosx+isinx)=ix ; Euler l'a publiée sous sa forme actuelle en 1748 3. Comme c'est la forme publiée par Euler qu'on utilise, on attribue souvent la formule à lui seul. Moivre, lui, est lié à la formule sur les puissances, pas à celle-ci.
La forme implicite apparaît chez Moivre plus de 30 ans avant 1748, à partir de 1707, dans ses travaux sur les racines n-ièmes 2. Euler la démontre ensuite pour tout entier naturel n en 1748 2. Croire que Moivre n'a rien écrit avant Euler est donc inexact.
Les questions qu'on se pose
Faut-il apprendre la démonstration de la formule de Moivre ?
Il faut surtout savoir l'utiliser. Pour la démontrer, deux voies existent : la récurrence sur n, ou l'élévation à la puissance n des deux membres de la formule d'Euler, qui est une démonstration beaucoup plus simple 2. Si ton cours démontre d'abord Euler, tu peux t'appuyer sur lui. Si ce n'est pas le cas, la récurrence est la voie sûre.
Comment savoir si je dois utiliser Moivre ou Euler ?
Utilise Moivre quand tu dois calculer une puissance zn : tu multiplies l'argument par n. Utilise Euler quand tu dois transformer une expression contenant cos ou sin (linéariser une puissance de cosinus, par exemple) : tu remplaces cosθ ou sinθ par leur écriture avec des exponentielles 1. Si tu hésites, passe en forme exponentielle : les deux formules s'y rejoignent.
Pourquoi le résultat d'une puissance est-il parfois un réel ?
Parce que l'argument multiplié par n peut tomber sur un multiple de π. Dans ce cas, sin(nθ)=0 et le nombre est réel. Par exemple, (1+i)8=16 : l'argument 4π devient 2π. Vérifie toujours la valeur de nθ avant de conclure.