Formules de Moivre et d'Euler : exercices corrigés de Terminale

On reconnaît la forme $\cos\theta + i\sin\theta$ avec $\theta = \dfrac{\pi}{6}$ et l'exposant $n=6$.

Par la formule de Moivre, $Z = \cos\left(6\times\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6\times\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\pi + i\sin\pi$.

Comme $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$, on obtient $Z = -1$.

La partie réelle de $Z$ est donc $-1$.

On a $e^{i\pi/3} = \dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Le nombre $e^{-i\pi/3}$ est son conjugué : $e^{-i\pi/3} = \dfrac12 - i\dfrac{\sqrt3}{2}$.

On additionne : $e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3} = 1$ (les parties imaginaires s'annulent).

On divise par 2 : $\dfrac{e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}}{2} = \dfrac12$, ce qui est bien $\cos\dfrac{\pi}{3}$.

Le nombre est de la forme $\cos\theta+i\sin\theta$ avec $\theta=\dfrac{\pi}{4}$, et l'exposant est $n=-2$.

Moivre donne $Z = \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Le cosinus est pair et le sinus est impair : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$.

Donc $Z = -i$.

Vérification : $\left(e^{i\pi/4}\right)^2 = e^{i\pi/2} = i$, et l'inverse de $i$ est $-i$.

Le module est $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$.

On factorise : $1+i = \sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}{2}+i\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2\,e^{i\pi/4}$.

On élève à la puissance 8 : $(1+i)^8 = \left(\sqrt2\right)^8 e^{i8\pi/4} = 16\,e^{2i\pi}$.

Comme $e^{2i\pi}=1$, on obtient $(1+i)^8 = 16$.

Contrôle : $(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$, puis $(1+i)^8 = 16$.

Le module est $|z| = \sqrt{3+1} = 2$.

On factorise : $z = 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac12 i\right) = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) = 2e^{i\pi/6}$.

On élève à la puissance 12 : $z^{12} = 2^{12}\,e^{i\,12\pi/6} = 4096\,e^{2i\pi}$.

Comme $e^{2i\pi}=1$, on obtient $z^{12} = 4096$.

Contrôle : $z^6 = 64\,e^{i\pi} = -64$, et $(-64)^2 = 4096$.

Par Euler, $\cos^3\theta = \dfrac18\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^3$.

On développe : $\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right)^3 = e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}$, car $e^{2i\theta}e^{-i\theta}=e^{i\theta}$ et $e^{i\theta}e^{-2i\theta}=e^{-i\theta}$.

On regroupe : $= \left(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}\right) + 3\left(e^{i\theta}+e^{-i\theta}\right) = 2\cos3\theta + 6\cos\theta$.

On divise par 8 : $\cos^3\theta = \dfrac{2\cos3\theta+6\cos\theta}{8} = \dfrac{\cos3\theta + 3\cos\theta}{4}$.

Le coefficient de $\cos\theta$ est $\dfrac34$.

Contrôle avec $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ : le membre de gauche vaut $\dfrac18$ ; à droite, $\dfrac{-1+3\times\frac12}{4}=\dfrac18$.

Par le binôme, $(\cos\theta+i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$.

Partie réelle de ce développement : $\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$.

Par Moivre, la partie réelle du même nombre est $\cos3\theta$. Deux écritures d'un même nombre complexe ont la même partie réelle, donc $\cos3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$.

On remplace $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ : $\cos3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta + 3\cos^3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$.

Pour $\cos\theta = 0{,}8$ : $4\times0{,}8^3 - 3\times0{,}8 = 4\times0{,}512 - 2{,}4 = 2{,}048 - 2{,}4 = -0{,}352$.

On a $8i = 8e^{i\pi/2}$.

Avec $z=re^{i\varphi}$, on a $z^3 = r^3e^{3i\varphi}$ par la règle de Moivre.

L'égalité $r^3e^{3i\varphi} = 8e^{i\pi/2}$ impose $r^3=8$, donc $r=2$, et $3\varphi = \dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, donc $\varphi = \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$.

Pour $k=0,1,2$ on trouve les arguments $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\dfrac{3\pi}{2}$ ; les autres valeurs de $k$ redonnent les mêmes points.

Les solutions sont $2e^{i\pi/6}=\sqrt3+i$, $2e^{5i\pi/6}=-\sqrt3+i$ et $2e^{3i\pi/2}=-2i$.

La partie réelle de la solution d'argument $\dfrac{\pi}{6}$ est $2\cos\dfrac{\pi}{6} = \sqrt3 \approx 1{,}732$.

Contrôle : on a vu à l'exercice précédent que $(\sqrt3+i)^6=-64$ ; ici $(\sqrt3+i)^3 = 8e^{i\pi/2}=8i$, et $(8i)^2=-64$.