Formules de Moivre et d'Euler : fiche de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Euler : eiθ=cosθ+isinθ, d'où cosθ=2eiθ+e−iθ et sinθ=2ieiθ−e−iθ.
Moivre : (cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ), pour tout réel θ et tout entier relatif n.
Pour une puissance : écrire sous forme exponentielle, élever le module à la puissance n, multiplier l'argument par n.
Pour linéariser cospθ ou sinpθ : remplacer par les formules d'Euler, développer, regrouper les termes conjugués.
Piège classique : la formule de Moivre ne marche que si le module vaut 1 ; sinon on factorise d'abord le module.
Les deux formules à connaître
Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir sur les formules d'Euler et de Moivre au programme de la spécialité Mathématiques expertes. Tu as déjà vu le module, l'argument, la forme trigonométrique et la forme exponentielle d'un nombre complexe : ces deux formules en sont le prolongement direct.
Comprendre la formule de Moivre
Le nombre z=cosθ+isinθ a pour module 1, car cos2θ+sin2θ=1. Dans le plan complexe, son image est donc sur le cercle de centre O et de rayon 1, le cercle unité 2.
La formule de Moivre dit alors que zn est le point du cercle unité repéré par l'angle nθ : chaque multiplication par z fait tourner d'un même angle θ autour de O2.
Démonstration · Démonstration rapide avec Euler
On part de eiθ=cosθ+isinθ. En élevant les deux membres à la puissance n, on obtient (cosθ+isinθ)n=(eiθ)n. La relation fonctionnelle donne (eiθ)n=einθ, et la formule d'Euler appliquée à nθ donne einθ=cos(nθ)+isin(nθ). Cette démonstration est bien plus directe qu'une récurrence 2.
Méthode 1 : calculer une puissance
Méthode 2 : linéariser avec Euler
Les formules d'Euler servent à transformer des expressions trigonométriques, en particulier pour passer d'une puissance de cos ou de sin à une somme de cosinus ou de sinus d'angles multiples. Le programme demande d'utiliser les formules d'Euler et de Moivre pour ce type de transformation 1.
Pièges et réflexes
Questions flash
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Le sinus est la différence eiθ−e−iθ divisée par 2i, car eiθ−e−iθ=2isinθ. La version avec 2 au dénominateur oublie le i ; celles avec une somme donnent 2cosθ, donc le cosinus.
Par Moivre, on obtient cosπ+isinπ=−1, car l'angle est multiplié par 6 : 6×6π=π. Diviser l'angle par 6 (réponse en 36π) est une confusion entre puissance et racine.
Elle est valable pour tout entier relatif n. Pour n=−1, on trouve cosθ−isinθ, ce qui est bien l'inverse d'un nombre de module 1. Croire qu'elle ne marche que pour n≥0 vient d'une preuve par récurrence que l'on n'étend pas.
On a 1+i=2eiπ/4, donc (1+i)8=(2)8e2iπ=16×1=16. Si tu trouves 8 ou 2, tu as oublié d'élever le module 2 à la puissance 8, ou tu as multiplié au lieu d'élever.
Les questions qu'on se pose
Peut-on utiliser la formule d'Euler pour démontrer celle de Moivre ?
Oui, en cours, c'est la méthode la plus rapide : on élève la formule d'Euler à la puissance n2. Historiquement, c'est l'inverse : la formule de Moivre précède celle d'Euler, qui s'est appuyée dessus pour sa démonstration d'origine 23. Si on te demande une démonstration par récurrence, la formule d'Euler ne doit alors pas être utilisée.
À quoi servent ces formules concrètement ?
Elles servent à calculer de grandes puissances d'un nombre complexe sans développer, et à transformer des expressions trigonométriques, par exemple linéariser cos2θ ou exprimer cos3θ12. Les formules d'Euler servent aussi à simplifier des calculs de dérivées en passant par l'exponentielle 3.
Comment savoir si je dois utiliser Moivre ou Euler ?
Si l'énoncé contient une puissance d'un nombre de la forme cosθ+isinθ ou reiθ, utilise Moivre. S'il contient des puissances de cos ou sin ou demande de passer entre trigonométrie et exponentielles, utilise Euler.