Variations et extremums d'une fonction : cours de Seconde

Publié le 9 novembre 2026 · Mis à jour le 9 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une fonction est croissante sur un intervalle si ses images se rangent dans le même ordre que les nombres ; elle est décroissante si l'ordre s'inverse.
Le tableau de variations résume par des flèches le comportement de la fonction ; il se lit de gauche à droite.
Une fonction affine $x \mapsto ax+b$ est croissante si $a>0$ , décroissante si $a<0$ , constante si $a=0$ .
Carré, inverse, racine carrée et cube sont les fonctions de référence dont il faut connaître les variations.
Un extremum est un maximum ou un minimum : c'est une valeur de $f(x)$ réellement atteinte, à ne pas confondre avec l'abscisse où elle l'est.

Pourquoi étudier les variations d'une fonction

Quand une fonction décrit un phénomène (la hauteur d'une balle, le coût de fabrication d'un objet, la température au fil de la journée), on se demande vite : est-ce que ça monte, est-ce que ça descend, et jusqu'où ? Répondre à ces questions, c'est étudier les variations de la fonction.

En Seconde, le programme demande d'étudier la croissance, la décroissance et la monotonie d'une fonction sur un intervalle, puis de dresser et de lire un tableau de variations ³. Il demande aussi de repérer graphiquement les extremums d'une fonction sur un intervalle ¹. Ce cours suit exactement ce fil : le vocabulaire, le tableau, les fonctions de référence, les fonctions affines, puis les extremums.

Un point de méthode dès maintenant : une fonction se lit de gauche à droite, comme un texte. Quand on parle de « monter » ou de « descendre », on regarde donc la courbe en avançant vers les $x$ de plus en plus grands.

Fonction croissante, décroissante, monotone

Le tableau de variations

Le tableau de variations est un résumé : sur la première ligne, on place les valeurs de $x$ où le comportement change ; sur la seconde, des flèches montantes ou descendantes, avec les valeurs de $f(x)$ aux extrémités et aux points où la flèche change de sens. Le programme demande de savoir relier la courbe et ce tableau dans les deux sens ¹.

La fonction carré : descente puis montée · La courbe change de sens en x = 0, où elle atteint son minimum 0.

Sur la courbe de la fonction carré ci-dessus, on voit bien le changement de sens en $x=0$ . Le tableau de variations correspondant s'écrit en deux étapes : une flèche descendante de $-3$ à $0$ , avec une image qui passe de $9$ à $0$ , puis une flèche montante de $0$ à $3$ , avec une image qui remonte de $0$ à $9$ .

Les variations des fonctions de référence

Le programme demande de connaître les variations des fonctions carré, inverse, racine carrée et cube ¹. Voici le résumé, que tu dois savoir retrouver à partir de la courbe.

Variations des fonctions de référence
Fonction	Variations
Carré	Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
Inverse	Décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
Racine carrée	Croissante sur [0 ; +∞[
Cube	Croissante sur ℝ

Variations des fonctions de référence

Démonstration · Pourquoi la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$

Prenons $a<b\le 0$ . On veut comparer $a^2$ et $b^2$ .

$b^2-a^2=(b-a)(b+a).$

Comme $a<b$ , le facteur $b-a$ est strictement positif. Comme $a<0$ et $b\le 0$ , la somme $b+a$ est strictement négative. Le produit est donc négatif : $b^2-a^2<0$ , soit $b^2<a^2$ .

On a bien $a<b\Rightarrow a^2>b^2$ : la fonction carré inverse l'ordre sur $]-\infty\,;0]$ . Le même calcul avec $0\le a<b$ donne $b+a>0$ donc $b^2>a^2$ : elle est croissante sur $[0\,;+\infty[$ .

Les fonctions affines : le signe de $a$ décide

Démonstration · Pourquoi le signe de $a$ suffit

Prenons $x_1<x_2$ . Alors

$f(x_2)-f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b)=a(x_2-x_1).$

Comme $x_2-x_1>0$ , ce nombre a le signe de $a$ . Si $a>0$ , $f(x_2)>f(x_1)$ : $f$ est croissante. Si $a<0$ , $f(x_2)<f(x_1)$ : $f$ est décroissante.

Pour une fonction affine, la droite et le signe sont liés : si $a>0$ , la fonction passe du négatif au positif (si elle s'annule, c'est en $x=-\frac ba$ ) ; si $a<0$ , elle passe du positif au négatif. Ce lien resservira dans le chapitre sur le signe d'une fonction.

Les extremums : maximum et minimum

L'extremum dépend de l'intervalle choisi. Sur $\mathbb{R}$ , la fonction carré a pour minimum $0$ mais n'a pas de maximum, car ses valeurs deviennent aussi grandes qu'on veut. Sur l'intervalle $[-1\,;2]$ , elle admet un maximum, et il vaut $4$ : c'est $f(2)$ , car $2^2=4$ est plus grand que $(-1)^2=1$ .

Pour une fonction affine, le résultat est immédiat : sur $[p\,;q]$ , une fonction croissante a son minimum en $p$ et son maximum en $q$ ; une fonction décroissante fait l'inverse. Il suffit de calculer les images des bornes.

Méthode complète et erreurs fréquentes

VariationsÉtablir le tableau de variations.
Changement de sensRepérer où la flèche change de sens.
BornesCalculer les images aux bornes.
ConclureDonner la valeur et l'abscisse.

Trouver un extremum en quatre étapes

Pour contrôler un résultat, tu peux t'aider d'outils : un logiciel de géométrie dynamique, ta calculatrice ou un petit programme Python. Le programme officiel les cite justement pour observer comment varie une fonction définie par une formule ¹. Trace la courbe, repère où elle monte et où elle descend, puis rédige toi-même la justification.

Exercices corrigés

Exercice 1 Extremums d'une fonction affine

★☆☆Environ 5 min

Soit $f(x)=2x-7$ définie sur $[-1\,;4]$ .

Donne le sens de variation de $f$ .
Détermine le minimum et le maximum de $f$ sur $[-1\,;4]$ .

On demande ici la valeur du maximum.

Indice 1

Regarde le signe du coefficient directeur.

Indice 2

Pour une fonction croissante, le maximum se trouve à la borne de droite.

Voir la correction pas à pas

Le coefficient directeur est $2>0$ , donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur $[-1\,;4]$ .
Une fonction croissante atteint son minimum à la borne de gauche : $f(-1)=2\times(-1)-7=-9$ .
Elle atteint son maximum à la borne de droite : $f(4)=2\times4-7=1$ .
Le minimum vaut $-9$ (en $x=-1$ ) et le maximum vaut $1$ (en $x=4$ ).

La fonction étant croissante, ses extremums sont aux bornes : minimum $-9$ , maximum $1$ .

Exercice 2 Inverse sur un intervalle

★★☆Environ 8 min

Soit $k(x)=\dfrac1x$ définie sur $[2\,;5]$ .

Justifie que $k$ est décroissante sur $[2\,;5]$ .
Détermine le maximum de $k$ sur cet intervalle, sous forme décimale.

Indice 1

L'intervalle $[2\,;5]$ est contenu dans $]0\,;+\infty[$ .

Indice 2

Pour une fonction décroissante, le maximum est à gauche.

Voir la correction pas à pas

Tous les nombres de $[2\,;5]$ sont strictement positifs : on est dans $]0\,;+\infty[$ , où la fonction inverse est décroissante.
Donc $k$ est décroissante sur $[2\,;5]$ : l'ordre des images est inversé.
Le maximum est atteint à la borne de gauche : $k(2)=\frac12=0{,}5$ .
Le minimum, lui, est $k(5)=\frac15=0{,}2$ .

Le maximum de $k$ sur $[2\,;5]$ est $0{,}5$ , atteint en $x=2$ .

Exercice 3 Une fonction qui change de sens

★★★Environ 12 min

Soit $g(x)=(x-2)^2+1$ définie sur $[0\,;5]$ .

Étudie les variations de $g$ sur $[0\,;2]$ puis sur $[2\,;5]$ .
Détermine le minimum de $g$ sur $[0\,;5]$ et l'endroit où il est atteint.
Détermine le maximum de $g$ sur $[0\,;5]$ .

Indice 1

Pose $u=x-2$ et regarde dans quel intervalle se trouve $u$ .

Indice 2

Compare les images aux deux bornes de l'intervalle.

Voir la correction pas à pas

Si $x\in[0\,;2]$ , alors $x-2\in[-2\,;0]$ , où la fonction carré est décroissante : $g$ est décroissante sur $[0\,;2]$ .
Si $x\in[2\,;5]$ , alors $x-2\in[0\,;3]$ , où la fonction carré est croissante : $g$ est croissante sur $[2\,;5]$ .
Comme $(x-2)^2\ge0$ , on a $g(x)\ge1$ avec égalité en $x=2$ : le minimum vaut $g(2)=1$ , atteint en $x=2$ .
Pour le maximum, on compare les bornes : $g(0)=(0-2)^2+1=5$ et $g(5)=(5-2)^2+1=10$ .
Le maximum est donc $10$ , atteint en $x=5$ .

Sur $[0\,;5]$ , $g$ a pour minimum $1$ (en $x=2$ ) et pour maximum $10$ (en $x=5$ ). On répond ici avec la valeur du maximum.

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre « croissante » et « strictement croissante » ?

Dans une fonction croissante, on accepte $f(a)=f(b)$ pour $a<b$ (une partie plate). Dans une fonction strictement croissante, les images sont toujours rangées strictement. En Seconde, on parle surtout de croissance sans insister sur cette nuance.

Comment savoir si je donne l'abscisse ou la valeur de l'extremum ?

Le maximum ou le minimum est une valeur de $f(x)$ : c'est une ordonnée sur la courbe. L'abscisse est l'endroit où cette valeur est atteinte. Dans une rédaction, donne les deux : « minimum $-4$ , atteint en $x=2$ ».

Peut-on dresser un tableau de variations sans la courbe ?

Oui, si tu connais les variations des fonctions de référence et les effets des transformations simples. Pour une fonction affine, le signe de $a$ suffit. Pour une expression comme $(x-2)^2+1$ , on s'appuie sur la fonction carré. La calculatrice ou un logiciel peut ensuite contrôler ton résultat.

Une fonction a-t-elle toujours un maximum et un minimum ?

Non. Sur $\mathbb{R}$ , la fonction carré n'a pas de maximum, et une fonction affine non constante n'a ni maximum ni minimum. Sur un intervalle fermé comme $[0\,;5]$ , les valeurs aux bornes permettent souvent d'en trouver.

Que faut-il savoir pour le contrôle ?

Savoir lire un tableau de variations, relier courbe et tableau, donner les variations des fonctions de référence et des fonctions affines, puis déterminer des extremums sur un intervalle en justifiant par le sens de variation.

Sources

Programme de mathématiques de Seconde générale et technologique (Projet d'aménagement 2025), Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Programme mathématiques Seconde - Document officiel, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 9 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Variations et extremums de fonctions, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Document pédagogique Éduscol - Monotonie et extremums, Éduscol. Consulté le 9 novembre 2026.
Extremum, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.
Calcul des variations, Wikipédia. Consulté le 9 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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L'essentiel

Pourquoi étudier les variations d'une fonction

Fonction croissante, décroissante, monotone

Le tableau de variations

Les variations des fonctions de référence

Les fonctions affines : le signe de $a$ décide

Les extremums : maximum et minimum

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Exercices corrigés

Exercice 1 Extremums d'une fonction affine

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