Variations et extremums : exercices corrigés de 2de

Le tableau montre que $f$ monte de $-2$ à $3$, puis descend de $3$ à $-1$ : la valeur la plus haute est $3$.

Le maximum vaut donc $3$, atteint en $x=1$.

Les valeurs candidates pour le minimum sont les images aux bornes : $f(-4)=-2$ et $f(5)=-1$. Entre les deux, $-2$ est plus petit.

Le minimum sur $[-4\,;5]$ vaut $-2$, atteint en $x=-4$.

Sur $[1\,;5]$, la fonction est décroissante : son minimum est l'image de la borne de droite, soit $f(5)=-1$.

Le coefficient directeur est $a=-3$, négatif : $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ¹.

On calcule $f(2)=-3\times 2+5=-1$.

On calcule $f(4)=-3\times 4+5=-7$.

La différence vaut $f(4)-f(2)=-7-(-1)=-6$.

Comme $2<4$ et que $f$ est décroissante, l'image de $4$ est plus petite que l'image de $2$ : la différence devait être négative.

La fonction carré est décroissante pour les nombres négatifs et croissante pour les nombres positifs ¹. Sur $[-3\,;2]$, $g$ décroît donc sur $[-3\,;0]$ puis croît sur $[0\,;2]$.

Images utiles : $g(-3)=9$, $g(0)=0$, $g(2)=4$.

Tableau : $g$ passe de $9$ à $0$, puis de $0$ à $4$.

Le minimum vaut $0$, atteint en $x=0$.

Le maximum est la plus grande valeur du tableau, soit $9$, atteint en $x=-3$.

Il n'est pas en $x=2$ car $g(2)=4<9$ : l'intervalle s'étend plus loin à gauche de $0$ qu'à droite.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ ¹ : elle conserve l'ordre. Comme $7>5$, on a $\sqrt{7}>\sqrt{5}$.

La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ ¹ : elle renverse l'ordre. Comme $3<8$, on a $\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{8}$.

Les nombres $-4$ et $-1$ sont négatifs et $-4<-1$. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ ¹, donc elle renverse l'ordre : $(-4)^2>(-1)^2$.

Vérification : $16>1$.

La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$ ¹, donc sur $[1\,;9]$.

Si $1\le a<b\le 9$, alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, puis $2\sqrt{a}<2\sqrt{b}$ (on multiplie par $2>0$), puis $2\sqrt{a}-1<2\sqrt{b}-1$. Donc $h(a)<h(b)$ : $h$ est croissante.

On calcule $h(1)=2\times 1-1=1$.

On calcule $h(9)=2\times 3-1=5$.

Comme $h$ est croissante, son minimum est $h(1)=1$ et son maximum est $h(9)=5$.

La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ ¹, et $\left[\dfrac{1}{2}\,;4\right]$ est contenu dans cet intervalle : $k$ est décroissante.

Le maximum est donc à la borne de gauche : $k\left(\dfrac{1}{2}\right)=2$.

Le minimum est à la borne de droite : $k(4)=\dfrac{1}{4}$.

L'élève se trompe : $0$ n'est jamais une image de la fonction inverse, car $\dfrac{1}{x}=0$ n'a pas de solution. Un minimum doit être une valeur réellement atteinte.

On calcule $a=\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{1-7}{3}=-2$ ¹.

Comme $a<0$, $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ¹.

On écrit $f(x)=-2x+b$. Avec $f(1)=7$ : $-2+b=7$, donc $b=9$.

Donc $f(x)=-2x+9$. Vérification avec $x=4$ : $-8+9=1$, correct.

Sur $[0\,;5]$, $f$ décroît : le maximum est $f(0)=9$ et le minimum est $f(5)=-10+9=-1$.

Comme $f$ est décroissante, son maximum est à gauche : $f(-3)=6$. Son minimum est à droite : $f(4)=-2$.

On a $-1<2$ et $f$ est décroissante, donc $f(-1)>f(2)$.

Comme $-3\le 0\le 4$, on a $f(4)\le f(0)\le f(-3)$, soit $-2\le f(0)\le 6$. Cet encadrement ne suffit pas pour comparer $f(0)$ et $5$ : la comparaison est impossible avec ces seules données.

Le maximum de $f$ est $6$, donc aucune image ne dépasse $6$. Ainsi $f(x)=7$ n'a aucune solution sur $[-3\,;4]$.